Prova 2-2021 1

Resolver apenas metade de cada seção selecionando somente os exercícios ímpares (25 %). Equações Diferenciais Ordinárias 1ª Ordem • EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS (pág.4) • EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS (pág.7) • EQUAÇÕES EXATAS (pág. 11) Equações Diferenciais Ordinárias 2ª Ordem • Equações lineares homogêneas (pág.32) • EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS i) MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR (pág.34) ii) MÉTODO DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS (LAGRANGE) (pág.36) Cálculo 2 Prova II Semestre 21.1 Lista 1 - Equações Diferenciais Ordinárias 1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Curitiba Departamento Acadêmico de Matemática EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Notas de aula Professor: Altemir José Borges 2 Definição: Chama-se equação diferencial à equação que possui as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis livres. Exemplos: a) 3 −1 dx = x dy b) e x y dx dy dx y d 5 2 2 6 12 7 = + − c) x dx dy dx d y cos 5 4 3 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎟⎟ − ⎛ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ d) xyz y x z x z = 3 ∂ ∂ ∂ − ∂ Classificação: A equação será chamada de ordinária se as variáveis dependentes forem função de uma única variável livre, caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais parciais. As equações dos exemplos a, b e c anteriores são equações diferenciais ordinárias e a equação do exemplo d é uma equação diferencial parcial. Ordem: Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. As equações a) e d) são de primeira ordem, já os exemplos b) e c) são de segunda ordem. Grau: Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. As equações a, b e d são de primeiro grau e o exemplo c é do terceiro grau. Solução: É uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: solução geral, particular ou singular. Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e possui constantes arbitrárias. Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Por exemplo: Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) x y y 6 ' '' 5 = − + , sujeita às condições iniciais y(0) =2 e y’(0) = 3, ou resolver a EDO x y y 6 ' '' 5 = − + , sujeita às condições de contorno y(0)=2 e y’(1)=3. Chama-se solução singular de uma equação diferencial à envoltória1 da família de curvas integrais. Teorema da existência: A equação ( , ) g x y dx dy = admite solução se: • g(x,y) é contínua e unívoca em uma região D de pontos (x,y). • ∂g ∂y existe e é contínua em todos os pontos de D. ____________________ 1 Envoltória de uma família de curvas é a uma curva tangente a todas as curvas da família. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3 Exercícios: 1. Mostre, por substituição, que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas: a) y = e2x , 0 y" 5 'y 6y = + − b) 3e x y = , 0 y" 5 'y 6y = + − c) 3x 2 1 2x C e C e y + = , 0 y" 5 'y 6y = + − d) 3x ln x Bx Ax y 2 − + = , 3x x2y" 2xy' 2y = + − e) x x Bx Ax y ln 2 ln + + + = , x y dx x dy dx y d x ln 2 2 2 = + − 2. Determine uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: a) y = Cx2 b) 2 1 2 C C x y + = c) Bcos2x Asen2x y + = d) 2x x Be Ae y + = e) Cy y x = 1+ ln f) ( 2 ) 2 3 y C x x − = g) C x y g x y ec x + = + − + ) cot ( ) ( cos 3. Encontre uma equação diferencial da família de circunferências de raio 5 e de centros sobre o eixo dos x. 4. Nas equações diferenciais a seguir, substitua y = erx para determinar todos os valores de r para os quais y = erx é uma solução da equação. a) 2y 3 'y = b) y 4y" = c) 0 'y 2y y" = − + d) 0 3y" 3 'y 4y = − + e) 0 " 4 ' 8 = + − y y y 5. Nos exercícios seguintes, uma função y=g(x) é descrita por alguma propriedade geométrica de seu gráfico. Escreva uma equação diferencial da forma y’=f(x,y), tendo a função y=g(x) como solução: a) A inclinação (declividade) do gráfico de g no ponto (x,y) é a soma de x e y. b) A reta tangente ao gráfico de g no ponto (x,y) intercepta o eixo dos x em (x/2,0). c) Cada reta normal ao gráfico de g passa pelo ponto (0,1). d) A reta tangente ao gráfico de g em (x,y) passa pelo ponto (-y,x). 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E 1º GRAU: Neste estudo vamos dividir as equações de 1a ordem e 1o grau, para um melhor entendimento, em alguns tipos. 1°TIPO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A equação de 1a ordem e 1o grau 0 N( ,x y)dy M( ,x y)dx = + será de variáveis separáveis se: • M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. • M e N forem produtos de fatores de uma só variável. Resolução: Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos separar a variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dx como sendo uma função exclusiva da variável x e o coeficiente da diferencial dy como sendo uma função exclusiva da variável y, e então integrarmos cada diferencial. Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial x y dx dy = 3 cos Solução: Primeiramente devemos escrever a EDO na forma de uma diferencial. xdx y dy = 3 cos Vamos determinar um fator integrante2 que separe as variáveis, que será: y FI = 1 Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante, vem: xdx y dy = 3cos Integrando ambos os membros, teremos: ∫ ∫ = xdx y dy 3cos C senx y + = 3 ln C e senx y 1 3 = Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. 1. 3 −1 dx = x dy 2. ydx − xdy = 0 3. 0 4 = − − dy y x xdx 4. 0 .sec .sec = − xdy tgy ydx tgx __________________________ 2 Fator integrante é um fator que quando multiplicado em ambos os membros da equação separará as variáveis ou transformará a equação num modelo conhecido. 5 5. 0 1 )1 ( 2 2 2 = − − − x dy y dx x 6. 0 )1 ( = − − ydx dy x 7. 2 2 1 1 x y dx dy + + = 8. x dx dy = sen5 9. 0 3 = + dy e dx x 10. 6 )1 ( + = + x dx dy x 11. y xy '= 4 12. 2 3 x y dx dy = 13. x x y dy dx + = 1 2 2 14. y e x dx dy = 3 +2 15. 0 ) (2 ) (4 2 2 = + − + dx xy x dy yx y 16. xdx dy y x = 2 ( + )1 17. 1 2 ln ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = x y dy x dx y 18. x dy xdx e y cos ) 1( )1 sen ( + = − + , com y(0)=0 19. dx x y ydy 1/ 2 2 )1 4 ( + = , com y(0)=1 20. )1 4( 2 + = x dy dx , com 1 ( 4) = x π 21. xy y x y − 2 '= , com y(-1)=-1 22. 2 ) ( y dx dy e e x x = + − 23. p2 p dt dp − = 24. xy y x 1 dx dy + + = + 25. 2 ,2 com y(0) 2y x xy dx dy = − − + = 26. 0 )sen 1( cos = + + − ydy e ydx x , com 4 (0) = π y 27. 1 10 2 + = x dx dy , com y(0)=0 28. ) cos( y x dx dy + = (Dica: Faça x+y=t) 29. 2)1 ( ' + + = y x y (Dica observe o ex. 28) 6 30. ) ( ' 2 y x tg y + = (Dica observe o ex. 28) 31. 3 2 2 ' + − + = x y y (Dica observe o ex. 28) 32. Encontre as soluções singulares da equação dy y dx x = − 2 1 RESPOSTAS 1. C y x x = − 2 − 3 2 2. C y x = 3. C 3ln y x) 2 (4 x 4 24 3 = − − + − − 4. C y x = + − cos cos 5. C y x x = − + arcsen 1 6. ( − )1 = C x y 7. Cx C x y − + = 1 8. C x y + = − 5 cos5 1 9. C e y x + = −3 3 1 10. C x x y + + + = )1 5ln( 11. y = Cx4 12. C x y + = − − 1 2 2 13. Cx xy x x + = + − 3 3 ln( ) 3 14. C e e x y + = − − 3 2 2 3 15. ) (4 2 2 2 x C y + = + 16. C x x y + + − = )1 ln( 2 17. C y y y x x x + + + = − ln 2 2 9 ln 3 2 3 3 18. ( )( ) 4 1 cos 1 = + + e y x 19. 2 2 1 2 2 + = + x y 20. ( 3 4) 4 − π = y tg x 21. ( x) e xy = − 1+ 1 22. C e tg y x + = − − − ) 1( 1 23. Cet p p = 1− 24. C 2 x x y) 1 ln( 2 + + + + 25. 1 3e y 2x 2 x2 − = − 26. 2 2 )sec 1( = + y ex 27. arctgx y = 10 28. C x y x y ec x + = + − + ) cot( ) ( cos 29. ) ( 1 C tg x x y + = − − + 30. C y x x y = + + − ) sen 2( 2 2 31. 2) ( 3) 2 4( C x x y + = + − 32. y=1 ou y=-1 2° TIPO: EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Definição: A função definida por z=f(x,y) será uma função homogênea de grau m se tivermos f(λx,λy)= λmf(x,y). Exemplos: a) f(x,y)=2x3+5xy2 é homogênea de grau 3, pois f(λx,λy)=2(λx)3+5λx.(λy)2=λ3f(x,y). b) f(x,y)=yex/y é homogênea de grau 1, pois f(λx,λy)=λyeλx/λy=λf(x,y). Definição: A equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 será chamada de equação diferencial homogênea se M e N forem funções homogêneas de mesmo grau. Resolução: 7 Se Mdx + Ndy = 0 for uma equação diferencial homogênea, então ela poderá ser escrita da forma ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ = ⎛ x f y dx dy , onde a mudança de variáveis x t = y irá separar as variáveis. Exemplo: Determine a solução de 0 6 ) 3 (2 2 2 = − − xydy dx y x , sujeita à condição inicial y(1)=1/3. Como as funções M(x,y)=2x2-3y2 e N(x,y)=-6xy são funções homogêneas de grau 2, então a equação dada é homogênea. Fazendo x t = y , ou y=x.t (1) e diferenciando, teremos dy=x.dt+t.dx (2). Substituindo (1) e (2) na equação dada vem: 0 ) . 6 . .( . ) ) 3( (2 2 2 = + − − x dt x xt t dx dx xt x 0 ) . . ( . 6 ) 3 (2 2 2 2 = + − − x dt x t t dx dx t x 0 . .6 ) 6 3 (2 2 2 = − − − tx dt dx t t 0 . .6 ) 9 (2 2 = − − tx dt dx t Separando as variáveis, resulta: 0 9 2 6 . 2 = − − t t dt x dx . Integrando teremos C t x = − + ) 9 ln(2 3ln 2 Eliminando os logaritmos C t x = − ) 9 .(2 2 3 Voltando para as variáveis x e y: C x y x = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 9 . 2 C xy x = − 2 3 9 2 Impondo a condição inicial y(1)=1/3, teremos a solução particular: 1 9 2 2 3 x − xy = Resolva as seguintes equações: 1) 0 2xydy y )dx (x 2 2 = − − 2) 0 4y)dy (x y)dx (2x = + − − 3) 0 xydy y )dx (x 2 2 = − + 4) 0 2xydy 3y )dx (x 2 2 = + − , com y=1 e x=2 5) 0 xdy y)dx (x = + − 6) 0 2x)dy (y xdx = − + 7) 0 x dy yx)dx (y 2 2 = − + 8) x y x y dx dy + − = 9) 0 xy)dy (x ydx = + + − 10) y )dy (3x 2x ydx 3 3 2 + = 11) y x x y dx dy + = 12) 2x y 4ye x dy dx y − + = 8 13) 0 xdy x dx x cot g y y = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 14) 0 ) ( 2 2 = + − + xydy dx y xy x 15) 2 y )1( , x y dx dy xy 3 3 2 = − = 16) 2 y )1( , y 3xy dx 2x dy 2 2 = − + = 17) 0 y )1( , 0 dy xe )dx ye (x y x y x = = − + 18) 1 y )1( , xy)dy (4x 3xy)dx (y 2 2 = + = + 19) 1 y )1( , y x y x dx xy) dy (x 3 2 1 2 = = − + + − 20) 1 y(0) , 0 y )dy xy (x y dx 2 2 2 = = + + + 21) 1 2 y 1 , y dx xy) dy y (x 2 = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = − + 3° TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A HOMOGÊNEAS OU A EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais: a) ( ) ( ) 0 1 6 2 3 3 = + − − − − dy y x dx y x Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. Analisando as somas das variáveis, vemos que 2x-6y é proporcional a x-3y, logo se fizermos x-3y=t as duas somas deixarão de existir. Assim: t y x = − 3 (1) Diferenciando (1), teremos: dt dy dx = − 3 , ou dy dt dx + 3 = (2) Substituindo (1) e (2) na equação dada, teremos: ( ) ( ) 0 1 2 ) 3 3 ( = + − + − dy t dy dt t Separando as variáveis: 0 10 3 = + − − dy dt t t Integrando: C y t t = + − + 10) 7ln( Voltando para as variáveis x e y, teremos a solução geral: C y x y x = − − + − 10) 3 7ln( 2 b) 2 4 3 1 3 − + − − = y x y x dx dy 9 Escrevendo a equação diferencial na forma de uma diferencial, teremos: 0 2) 4 (3 )1 3 ( = − + − − − dy y x dx y x Observemos novamente que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. Como as somas x-3y e 3x+4y não são proporcionais, não é possível eliminar estas somas simultaneamente. Logo deveremos eliminar os termos independentes e transformar a equação em homogênea, que equivale a efetuar uma translação de eixos. Determinando a solução do sistema de equações ⎩ ⎨ ⎧ = − + − = − 0 2 4 3 0 1 3 y x y x obteremos as coordenadas do ponto P, que são ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −13 1 13 , P 10 . Logo a translação ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = v y u x 13 1 13 10 irá eliminar os termos independentes. Substituindo as fórmulas de translação e suas respectivas diferenciais na equação diferencial teremos: 0 2 ) 13 1 4( ) 13 3(10 1 ) 13 1 3( 13 10 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + dv v u du v u Reduzindo os termos semelhantes, vem: 0 4 ) (3 3 ) ( = + − − v dv u v du u , que é homogênea, cuja solução é: C y x xy y x = + − − − 4 2 6 4 2 2 Resolver as seguintes equações através de uma mudança adequada de variáveis: 22) 2 y 3x 1 3y 2x dx dy − + − − = 23) 0 )1 dy y (3x 3y)dx (2x = − − − − 24) 0 5)dy y (2x 4)dx 2y (x = − + − − + 25) 1 3y 6x 1 y 2x dx dy − − + − = 26) 0 2)dy 3y (2x )1 dx 3y (2x = + + + − + 27) y x 1 3y 1 3x dx dy + + − − = 28) ( ) ( ) 0 5 dx 2y x 4 dy y 2x = + − + + − 29) 3 4y 2x 1 2y x dx dy + + + + = x y x-3y-1=0 3x+4y-2=0 u v P 10 30) ( ) ( ) 0 5 dy 6y x 3 dx 4y x = − − − − − 31) ( ) ( ) 0 1 dy 3y 9x 2 dx y 3x = + − + + − RESPOSTAS 1. C 3xy x 2 3 = − 2. C 4y 2xy 2x 2 2 = − − 3. y2 x2 2 x = Ce 4. 8 3x 1 x y − = 5. Cx y x x = + ln 6. ) ( ) )ln( ( y C x y y x y x − + = − − 7. Cy x y x = + ln 8. C x y tg y x = + + − ) ( 2 ) ln( 1 2 2 9. 2) (ln 4 C y y x − = 10. 2 3 3 9 ) ( y C x y + = 11. C y x y + = 2ln ) ( 2 12. C y e x y + = 8ln 2 13. C x y x ) = cos( 14. Cx ey x x y 2 = + 15. 3 3 3 8x 3x ln x y = + 16. 2 1/ 2 3/ 2 y yx x = + 17. 1 - e ln x y x = 18. 0 y - x x ln x x 4x ln y = + + 19. 32 32 1/ 2 32 5 2 3 ln 3 x y y x x x = + + 20. 0 x y)ln y (x = + + 21. 2 -2(1- x y) lny 12 + = 22. C 4y 2x y 6xy 2x 2 2 = + − − − 23. C 2y y 6xy 2x 2 2 = + + − 24. )3 y C(x )1 y (x 3 − + = − − 25. C 3) 5y 4ln(10x 15y 5x = − − + − 26. C 7) 3y 9ln(2x 3y 3x + − + = − + 27. C 3) 3y 2ln( 3x y 3x = + − − + + 28. 3) ( - y y -1) (x 3 + = + C x 29. C 8y - 4x 5) 8y ln(4x = + + + 30. ( - 3y - 2) (x - 2y -1) 2 = C x 31. 1) ln(6x - 2y C 6y 2x + = − + + 4° TIPO: EQUAÇÕES EXATAS Forma : A equação Mdx+Ndy=0 será uma equação diferencial exata , quando existir uma função f(x,y)=C tal que df=Mdx+Ndy = 0 ou se a relação x N y M ∂ = ∂ ∂ ∂ for verdadeira. Resolução: Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja z=f(x,y)=C sua solução, cuja diferencial dada por y dy f x dx f dz ∂ + ∂ ∂ = ∂ (2). Então, comparando (1) e (2) teremos: ( , ) M x y x f = ∂ ∂ (3) e ( , ) N x y y f = ∂ ∂ (4). Para obtermos a sua solução z=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), em relação à variável x, da qual teremos ∫ + = ( ) ( , ) ( , ) g y M x y dx f x y (5). Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: ) (' ( , ) g y y x y dx M y f + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ (6). 11 Igualando (6) e (4) resulta: ( , ) ) (' ( , ) N x y g y y M x y dx = + ∂ ∂∫ . Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos 1 ( , ) ( , ) ( ) C dy y M x y dx N x y g y + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ∫ ∫ (7). Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é C dy y M x y dx N x y M x y dx f x y = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + = ∫ ∫ ∫ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . Exemplo: Resolver a seguinte equação diferencial 0 5) 4 (2 2 ) (3 2 = + − + + dy y x y dx x . Inicialmente vamos verificar a que modelo esta equação pertence. i. Ela não é de variáveis separáveis porque temos soma das variáveis x e y, ii. Ela não é homogênea porque os coeficientes das diferenciais não são funções homogêneas, iii. Para verificarmos se a equação é exata vamos utilizar a relação x N y M ∂ = ∂ ∂ ∂ . 2 2 ) (3 2 = ∂ + = ∂ ∂ ∂ y y x y M 2 5) 4 (2 = ∂ + − = ∂ ∂ ∂ x y x x N Como a condição x N y M ∂ = ∂ ∂ ∂ é verificada temos que a equação é exata. A solução f(x,y)=C verifica = 0 ∂ + ∂ ∂ = ∂ y dy f x dx f df , assim comparando com a equação dada teremos ( , ) M x y x f = ∂ ∂ ou y x x f = 3 2 + 2 ∂ ∂ , que integrado parcialmente em relação a x resulta ( ) 2 3 g y yx x f + + = . Comparando ( , ) N x y y f = ∂ ∂ teremos 5 4 2 ) (' 2 + − = + y x g y x . Logo 5 4 ) (' + = − y g y que integrado nos fornece y y g y 5 2 ) ( 2 + = − . Daí a solução f(x,y)=C fica: C y y yx x = + − + 5 2 2 2 3 Resolver as seguintes equações diferenciais: 1) 0 2 ) ( 2 2 = − − xydy dx y x 2) 0 2) 3 ( )1 (2 = − + − + − dy y x dx y x 3) 0 2 ) ( = − + y dy xe dx e y y 4) 0 cos ) (2 ) ( 2 3 = + + + y dy xy dx y x 5) 0 1] 2 ) [ cos( ] ) [ cos( = + + + + y dy x xy x dx x y xy y 6) 0 7) (3 )1 (2 = + + − dy y dx x 7) 0 ) 8 (4 4 ) (5 3 = − + + dy y x y dx x 12 8) 0 4) (2 )3 (2 2 2 = + + − dy yx dx y x 9) 0 ln y)dy (x 4ln x)dx (3x y 3 2 = − + − 10) 0 2 cos ) (3 ) ( 2 2 3 = + + − − x dy y xy x dx y senx y 11) xy xy xe 2y ye 2 dx dy − + = 12) 0 ) 3 ( ) 15 (4 2 4 2 3 = − + + − − x dy y x y dx x x y 13) 1 )1( , 0 )1 (2 ) ( 2 2 = = − + + + y dy x xy dx y x 14) 2 )1 ( , 0 )1 4 (6 5) 2 (4 = − = − + + − + y dy x y dx x y 15) .0 3 1 3 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x dy y y dx x 16) 0 1 9 1 2 3 2 2 3 = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x y dy dx x x y 17) 0 cos cos ) ( = + − ydy x senxseny dx tgx 18) xy x dx y dy x 4 4 2 ) 2 1( 3 2 + = − − 19) e y y dy x ysenx x dx x y x y = = + − + − − (0) , 0 ln ) (2 2 ) 3 cos ( 3 2 2 20) 6 2 2 x y xe dx dy x x + − = 5° TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A EXATAS Na equação Mdx+Ndy=0, quando as derivadas parciais y M ∂ ∂ e x N ∂ ∂ diferirem, muitas vezes pode-se determinar um fator integrante que irá transformar a equação dada numa equação exata. Vejamos o exemplo: Resolver a equação 0 2 ) ( 2 = + − xdy dx x y . Primeiramente, é sempre importante verificar a que modelo esta equação pertence: i. Ela não é de variáveis separáveis porque temos soma das variáveis. ii. Ela não é homogênea porque os coeficientes das diferencias são polinômios que não têm os mesmos graus. iii. Para verificarmos se a equação é exata vamos utilizar a relação x N y M ∂ = ∂ ∂ ∂ . Como x N y M ∂ ≠ ∂ ∂ ∂ , pois 1 ) ( 2 = ∂ − = ∂ ∂ ∂ y x y y M e 2 (2 ) = ∂ = ∂ ∂ ∂ x x x N a equação também não é exata. Agora vamos determinar um fator integrante, isto é, um fator que ao se multiplicar ambos os membros da equação a transforme em exata. Seja ( , ) λ x y este fator integrante. Impondo que 0 ( , ) 2 ) ( , ) ( 2 = + − x y dy x x y dx x y λ λ seja exata, teremos: [ ] [ ] x x y x y x y x y ∂ = ∂ ∂ − ∂ ( , ) 2 ) ( , ) ( 2 λ λ 13 x x y x x y y x y x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ − + ( , ) 2 ( , ) .2 ( , ) ) ( ( , ) .1 2 λ λ λ λ x x y x y x y x y x y ∂ ∂ = ∂ ∂ − + − ( , ) 2 ( , ) ) ( ( , ) 2 λ λ λ A equação parcial acima admite infinitas soluções, dependendo da função λ. No entanto, necessitamos de somente um fator integrante e preferencialmente o mais simples. Assim, vamos impor a condição que o fator integrante seja uma função somente de x, isto é = 0 ∂ ∂ y λ , pois nos interessa neste exemplo anular o termo que possui as duas variáveis x e y. Logo, teremos: dx d x λ λ = 2 − Separando as variáveis e integrando teremos um fator integrante: x λ = 1 Multiplicando ambos os membros da equação dada pelo fator integrante, resulta: 0 1 2 ) 1 ( 2 = + − dy x x dx x x y 0 2 ) 1 ( 2 = + − xdy dx x x y , que é exata e terá solução geral igual a: C x y x = − 5 2 2 5/ 2 Através do processo anterior podemos determinar os seguintes fatores integrantes para a equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1): i. Se f (x) N x N y M = ∂ − ∂ ∂ ∂ então ∫ f x dx e ( ) é um fator integrante; ii. Se f (y) M y M x N = ∂ − ∂ ∂ ∂ então ∫ f y dy e ( ) é um fator integrante; iii. Se Mx + Ny ≠ 0 e (1) é homogênea então Mx + Ny 1 é um fator integrante. Resolva as seguintes equações diferenciais, mediante o uso de um fator integrante adequado: 21) 0 )1 ( 2 = + + dy xy y dx 26) ( ) 0 ln = + + xdy x y dx x 22) 0 2 ) ( 2 2 = + − xydy dx y x 27) 0 ) (2 3 = + − xdy dx x y 23) x e dx ydx xdy 2 x = − 28) 0 3) 4( 3 3 2 2 = − + dy x y x y dx 24) 0 2 = − + xdy ydx y dy 29) 0 ) ( 2 2 = + + + xydy x dx y x 25) 0 ln ) ( 3 = + + x dy y x dx y 30) 0 ) ( 3 4 4 = − + xy dy dx y x 14 RESPOSTAS Equações exatas. 1. c xy x = − 2 3 3 2. c y y x xy x = − + + − 2 2 3 4 2 2 2 3. c y xe y = − 2 4. c seny xy x = + + 2 4 4 5. c y y x sen xy = + + ln 2 ) ( 6. c y x = + + 7 2 3y x - 2 2 7. c xy x = + 4 2 - 2y 4 2 5 8. c 4y 2 2 -3x = + x y 9. . C 4x y yln y 4x ln x x 3 y = + + − − 10. c x x y xy = + 2 2 3 2 cos - 1 11. C y e 2x 2 xy = − + 12. c x y = + 3 3 4 y -5x - xy 13. 4/3 - y 3 1 2 2 3 = + + xy x y x 14. 8 3y - y -5x 4 2 2 = + xy + x 15. c -3lnxy = + + xy y x 16. c x x y - tg 3 = -1 3 3 17. - ln cosx + cos xseny = c 18. c y - 2x y - y - x 4 2 2 = 19. 0 - y ln - x - x 2 3 2 = + y y y y senx 20. c e xy x = + 3 x - 2x 2 - 2xe 21. c y xy = + ln 22. c x y x = + 2 23. xex Cx y + = 24. Cy x y = 2 + 25. C y x y = + 4 4 ln 26. 0 ln = + + C x y x 27. C x x y = − 5 5 2 28. C y x y = − 3 3 4 4 29. C x y x x = + + 2 2 3 4 6 4 3 30. 4 4 4 ln 4 Cx x x y + = 6° TIPO: EQUAÇÕES LINEARES DE 1ª ORDEM Conceito: As equações da forma ( ) ( ) Q x P x y dx dy = + (1), onde P e Q são funções de x ou constantes, são chamadas de equações lineares de 1a ordem. Quando Q(x)=0 a equação será chamada de linear homogênea, devido a analogia com os sistemas de equações algébricas lineares homogêneos, ou seja, aqueles que possuem termo independente igual a zero. Resolução: 1. Método de Lagrange ou da substituição. A equação linear será resolvida através da substituição z t y = . (2) que irá separar as variáveis, onde z=z(x) e t=t(x) são funções a determinar. Derivando ambos os membros de (2) em relação à x e substituindo em (1), teremos ( ) ( ) Q x P x zt dx z dt dx t dz = + + (3). Fatorando t no primeiro membro (3) vem: Q dx z dt Pz dx t dz = ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + (4), e impondo que dx + Pz = 0 dz , teremos: ∫ = e− Pdx z , onde P=P(x) e Q=Q(x). 15 Voltando para (4) determinaremos C Qdx e t Pdx + = ∫ ∫ . . Assim, resulta ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ∫ = ∫ ∫ − C Qdx e e y Pdx Pdx . que é a solução geral da equação linear. 2. Fator de integração O fator ∫ = P x dx e ( ) λ transformará a equação (1) numa equação diferencial exata, isto é: Escrevendo (1) com diferenciais, vem ( ) = 0 − + Q dx Py dy . Quando multiplicada pelo fator integrante λ, resultará na equação exata 0 . . = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ∫ − ∫ + ∫ dx Q e y P e dy e Pdx Pdx Pdx . Resolva as seguintes equações diferenciais: 1. − 2 = − x x y dx dy 2. senx ytgx dx dy = − 3. 0 cot = − + x gx x y dx dy 4. 0 cos )1 ( = − − + ydx dy seny x 5. arctgx y dx dy x = + + ) 1( 2 6. y dx dy = 5 7. 4 12 3 = + y dx dy 8. e x y dx dy = 3 + 9. 2 ' 3 2 x x y y = + 10. 1 2 ' x y +xy = 11. ( ) 0 2 4 2 = + + ydx dy y x 12. ( y)dx xsenx xdy − = 13. ( ) 0 1 = + + e y dx dy e x x 14. 1 cos dx + ysenx = x dy 15. x x y dx x dy − = + 3 4 16. ( ) ex y x x dx x dy = + + 2 2 17. ( ) 0 1 cos cos 3 2 = − + dx x y xsenxdy 18. ( ) 0 2 = − + + dy ye x xy ydx y (dica escreva dx/dy) 19. ( ) e x y x dx dy x 3 1 3 = − + + 20. ( ) 0 4 6 = + − y dy x ydx 21. x x x e e e y dx dy − − + − = + 2 1 22. ( ) 0 2 2 2 = − + + y dy xy x ydx 23. θ θ = θ + cos rsec d dr 24. ( ) xy y dx dy x 4 8 5 2 2 − − = + 25. 20 5 dx + y = dy , com y(0)=2 26. E Ri dt L di = + , sendo L, R e E constantes, com i(0)=io 27. ( ) x tgx y y cos2 ' = + , com y(0)=-1 28. 50) ( − = k T dt dT , com T(0)=200 29. ( ) x y dx dy x ln 1 = + + , sendo y(1)=10 30. ( ) 0 2 2 = + − y dx dy x x , com y(3)=6 31. x y y dx dy − = , sendo y(5)=2 32. Encontre uma solução contínua satisfazendo f (x) y dx dy = + , em que ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ = 1 0, se x 1 x ,1 se 0 f (x) e a condição y(0)=0 16 RESPOSTAS 1) ) 2ln ( C x x x y + − = 2) ) 2 ( sec 2 C x sen x y + = 3) x C senx y + = ) ln( 4) ) 2 sec )(2sec ( C y tgy y y tgy x + + − + = 5) Ce arctgx arctgx y − − + = 1 6) ce x y 5 = 7) ce x y 4 3 1 − + = 8) x x ce e y − + = 3 4 1 9) 3 3 1 ce x y − + = 10) 1 1 ln − − + = cx x x y 11) 12 2 5 4 − + = − cy y x 12) x c x senx x y + + = − cos 13) +1 = ex c y 14) x c senx y + .cos = 15) 4 3 5 1 7 1 − + − = cx x x y 16) x x x e c x e y − + = 2 2 2 1 17) ecx c x y .cos sec + = 18) y y y y y e c y e y e e x − + + − = 2 4 2 1 2 1 2 1 19) x x x e c e y 3 3 − − + = 20) 4 2 6 cy y x + = 21) x x x x ce e e e y − − − + + = ) ln( 22) 2 1 y e y c y x − + = 23) c r tg + − = + θ θ θ θ cos ) (sec 24) 2 4) ( 6 3 5 + + + = x c x y 25) e x y 5 2 4 − − = 26) Rt L o E R e i E R i t / ) / ( / ( ) − − + = 27) x x senx y cos .cos − = 28) ekt T t 150 50 ( ) + = 29) 21 ln )1 ( + − = + x x x y x 30) 2 2 = x − x y 31) y y x 8 2 1 + = 32) ⎩ ⎨ ⎧ > − ≤ ≤ − = − − 1 , se x )1 ( 1 x , se 0 1 x x e e e y 7° TIPO: EQUAÇÕES DE BERNOULLI Conceito: As equações da forma Q x yn P x y dx dy ( ) ( ) = + (1) com n ≠ 1 , onde P e Q são funções de x ou constantes, são chamadas de equações de Bernoulli. Resolução: Para resolvermos a equação de Bernoulli iremos transformá-la numa equação linear multiplicando ambos os membros de (1) por y-n, o que implicará em ( ) ( ) 1 Q x P x y dx dy y n n = + − − (2). 17 Em (2), chamando t y 1−n = , obteremos ( ) ( ). 1 1 Q x P x t dx dt n = + ⋅ − que escrita como ). ( ) 1( ). ( ). 1( n Q x n P x t dx dt − = − + representa uma equação linear. Como exemplo da equação de Bernoulli, podemos citar um modelo empírico usado para a determinação do peso de peixes, que é a equação de Von Bertalanffly, p2/3 p dt dp α β = + , onde p é peso de cada peixe em função do tempo t, α é a constante de anabolismo, isto é, a taxa de síntese de massa por unidade de superfície do peixe e β é a constante de catabolismo, representando a taxa de diminuição da massa por unidade de massa. Resolva as seguintes equações de Bernoulli: 1. 2 3 2 xy x y dx dy = − 2. 3 2 xy xy dx dy = − 3. x3 y3 xy dx dy = + 4. 2 1 y y dx x dy = + 5. ( 3 − )1 = y xy dx dy 6. xy y dx dy x = + 2 2 7. 1/2 , com y(1) 3 2 4 2 = = − y xy dx dy x 8. x3y3 y dx x dy = + 9. y x x y dx dy + = 4 10. 0 2 2 = + − x y dx xy dy 11. 2 2 2 y x y dx dy = + 12. dx y y xdy )1 ( 2 + = 13. 2 2) 1( xy xy dx dy x + = − Respostas: 1. C x x y + − = 4 2 3 4 2. C e e y x x + − = 2 2 2 2 2 2 3. ( ) 1/ 2 2 2 1 − + + = Cex x y 4. C x x y = − 3 3 3 5. Ce x y x 3 3 1 3 1 = + − − 6. C x y x = − ln 18 7. 6 3 5 49 5 9 x x y + = − − 8. 1 2 2 2 3 2 = + − Cx y x y 9. 2 4 2 ln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = C x x y 10. C x x y = + ln 2 11. 1 2 2 Cx y + xy = 12. C x y x = + 2 2 2 13. 2 1 1 1 x C y − + − = 8° TIPO: EQUAÇÕES DE RICCATI Conceito: As equações da forma ( ) ( ) ( ) 2 R x Q x y P x y dx dy + = + (1), onde P, Q e R são funções de x ou constantes, são chamadas de equações de Riccati. Resolução: Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = yo qualquer de (1), na qual a mudança de variáveis yo z y + = irá eliminar o termo independente R(x) transformando a equação de Riccati numa equação de Bernoulli. Resolva as seguintes equações de Riccati, onde y1 é uma solução conhecida para a equação: 1. x x y x y dx dy = = + + 1 2 2 , 3 com y 2. x x y xy dx dy x = − + = + + + 1 2 2 3 ,0 com y 1 2 ) 1( 3. 1 ,1 com y )1 (2 1 2 = − = − − + x xy y x dx dy 4. 2 , com y 2 1 2 = + = − − y y dx dy 5. x y x y x dx dy 2 , com y 1 4 1 2 2 = + − = − 6. x x x e y y e e dx dy = − + + + = 1 2 2 , com y ) 2 1( 7. x x x y x y dx dy = − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ − = 1 2 ,1 com y 1 2 1 1 8. 1 ,0 sendo y 2 3 1 2 = − = + + + y y dx dy Respostas: 1. C x y x y x = + − 3 ) 4 ( 2. C x y x x = − + + 2 3 1 3. Ce x x y − − = − + 1 1 1 4. Ce x y y 3 1 2 = + − 19 5. C x xy x = + − 4 2 4 4 6. x x Ce e y − + = + 1 1 7. C x x y x = + − 2 2 2 8. Cex y + = + 1 1 1 9° TIPO: SUBSTITUIÇÕES DIVERSAS Tais equações não se enquadram diretamente em nenhum dos modelos anteriores, mas após a aplicação de uma determinada mudança de variáveis elas se transformarão numa equação diferencial conhecida. Resolva as seguintes equações diferenciais, por uma substituição apropriada: 1) 0 ) 2 1( ) 2 1( = − + + xy dy x xy dx y 2) 6 3 2 2 2 − = + x y dx xy dy 3) y x y e x y dx dy x 3 = − 4) x x e dx dy xe y y ln 2 2 = + 5) 0 ) 1( = + + ye dy ydx x 6) 4 2 5 4 y x x e x y dx dy = − 7) 0 ' 2 2 2 = + + + x y x yy 8) ) ln( 2 2 2 cos tgy x dx ec y dy x − = 9) 3 2 3 3 3 4 2 − = + x x y dx x y dy 10) x e dx dy x y sen 1 + = −( + ) 11) ) (2cos cos sen2x y x dx seny dy − = 12) 0 cos ) cos 2 ( . 2 3 = + − + y dx y x x x senydy 13) 0 8) 2 (3 7) 3 (2 2 2 2 2 = − + − − + dy y x dx y x 14) 0 ) ( ) 2 ( = − + + ydx y xdy ydy xdx x 15) 0 3)cos 4 (2 3) 2 ( = − − + + − ydy seny x dx seny x Respostas: 1. xy Cye x 12 = 2. C x x x y + − = 2 3 2 2 3 3. y x x e x C y x ) ( − = + 4. C x x x x e y + − = 2 ln 2 2 2 5. Cy y y e x + − = ln 6. C x e y x + = − − 2 4 7. Ce x x y x − − + = + 1 2 2 8. C x x tgy + ) = ln( 9. C x x x y + − = 9ln 2 3 3 3 10. x x y Ce x e e − − − = − cos 11. Ce senx senx sen x y − + + − = 4 1 2 cos 2 12. 2 2cos Cxe x x y − + = 13. 3) ( )1 ( 2 2 5 2 2 − + = − − y C x y x 14. 2 2 2 2 )1 )( ( Cx x y x = + + 15. C seny x x seny = + − + + )3 8 9ln(4 4 8 20 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE 1a ORDEM E 1o GRAU 1. Determine a equação das curvas que possuem a subnormal constante. 2. Determine a equação das curvas que possuem a subtangente constante. 3. Nos problemas a seguir determine as trajetórias ortogonais de cada família de curvas dadas: a. y = cx b. y = cx2 c. 1 2 2 cx + y = d. ce x y − = e. 3 2 y = cx f. cx x y = 1+ g. cx y x 4 2 2 2 = + h. r = 2ccosθ i. sen2θ 2 c r = 4. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de cey y x = + , que passam por P(0,5). 5. Um investidor aplica determinada quantia que triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada, supondo que o aumento é proporcional ao capital existente a cada instante? 6. Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? 7. Suponha que a população da comunidade do problema 6 anterior seja 10.000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população em 10 anos? 8. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bactérias presentes. Após 10 horas existem 2000. Qual era o número inicial de bactérias ? 9. O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 10. Quando um raio de luz vertical passa através de uma substância transparente, a taxa na qual sua intensidade I decresce é proporcional a I(t), em que t representa a espessura do meio (em metros). No mar a intensidade a 3 m abaixo da superfície é de 25% da intensidade inicial Io do raio incidente. Qual é a intensidade do raio a 15m abaixo da superfície? 11. Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30oC? 12. Um termômetro é retirado de uma sala, em que a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora onde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o termômetro marcava 50ºF. Qual será a temperatura marcada pelo termômetro no instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 15ºF? 13. Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente tirando os seguintes dados. A temperatura do escritório era de 20oC, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa 21 viva é de 36.5oC, prende a secretária. Por que?. No dia seguinte o advogado da secretária a liberta, alegando o que? 14. Em um depósito há 100l de uma solução aquosa que contém 10kg de sal. Joga- se água neste depósito com uma velocidade de 3l/min ao mesmo tempo em que, através de um orifício desse tanque, a mistura escoa com uma velocidade de 2l/min. A mistura se mantém homogênea por agitação. Que quantidade de sal haverá no tanque 1h depois de iniciada a operação 15. Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantas gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E após um longo tempo? 16. Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal no tanque em qualquer instante. 17. Suponha que um estudante infectado com um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontra 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias se ainda é observado que depois de 4 dias x(4)= 50. 18. Uma lancha se desloca numa lagoa com uma velocidade de 10m/s. Em dado instante seu motor é desligado, com isso a lancha sofre uma redução de velocidade proporcional à velocidade instantânea. Sabendo que ao final de 5 segundos sua velocidade é de 8m/s, qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de 1m/s? 19. Um bote está sendo rebocado a uma velocidade de 12nós(6,17m/s). No instante em que o cabo do reboque é largado, um homem no bote começa a remar, no sentido do movimento com uma força de 10N. Sabendo que o peso do homem e do bote é 200N e que a resistência ao deslocamento, em N, é de 2.6v, sendo v a velocidade em m/s, achar a velocidade do bote no fim de 30 segundos. 20. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 0.5 Henry e a resistência 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial é zero. 21. Achar a equação da curva que passa pelo ponto P(5,6), conhecendo-se a declividade de sua tangente num ponto qualquer y x dx dy 3 = 2 . 22. Achar a equação da curva cuja subtangente seja o dobro da abscissa do ponto de contato. 23. Achar a equação da curva cuja subtangente num ponto P(x,y) seja igual à ordenada de P. 24. Uma curva dada passa pelos pontos (0,0) e (3,9). Achar a sua equação sabendo que a mesma tem a propriedade de dividir o retângulo formado pelos eixos coordenados e pelas retas paralelas a estes, tomadas por um ponto P(x,y), em duas partes, sendo a área de uma dela o triplo da outra. 25. Achar a equação da família de curvas em que a subnormal, num ponto P(x,y) seja igual à abscissa desse ponto. 22 26. Um marca passo, como indicado na figura abaixo, consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como resistor. Quando a chave S está em P, o capacitor C é carregado; quando S está em Q, o capacitor R descarregado, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao coração é dada por 2 t, 1 1 t t RC E dt dE < < = − , onde R e C são constantes. Determine E(t) se E(t1)=E0. (É claro que a chave é aberta e fechada periodicamente para simular o batimento cardíaco natural.) 27. Em março de 1987 a população mundial atingiu cinco bilhões, e estava crescendo à taxa de 380 mil pessoas por dia. Assumindo-se taxas de natalidade e mortalidade constantes, para quando se deve esperar uma população mundial de 10 bilhões de pessoas. 28. É um fato da física que os elementos radioativos se desintegram espontaneamente em um processo chamado decaimento radioativo. Os experimentos têm mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade de elemento presente. Sabe-se que a meia-vida específica do carbono-14 radioativo está em torno de 5730 anos. Em 1988, o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano, que apareceu em 1356, contém o negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus. O relatório do Museu mostrou que as fibras no pano continham entre 92 e 93% do carbono-14 original. Use esta informação para estimar a idade do sudário. 29. Ache uma curva do plano xy que passa pelo ponto P(0,3) e cuja reta tangente em um ponto qualquer tem inclinação 2x/y2. 30. Uma bala de massa m=3.56x10-3kg é disparada para cima com uma velocidade inicial vo=988m/s, e torna-se mais lenta pela força da gravidade e uma força de resistência do ar de kv2, sendo k=7.3x10-6kg/m. Determine a altura máxima atingida pela bala.(Considere g=9,8m/s2) Coração R C Q S P E0 23 31. Considere um compartimento que contém 3 litros de água salgada. Suponha que água, contendo 25 gramas de sal por litro, esteja sendo bombeada no compartimento a uma taxa de 2 litros por hora, e a mistura, que é homogeneizada continuamente é bombeada para fora do compartimento com a mesma taxa. Encontre a concentração de sal na mistura após 3 horas. 32. Em uma certa floresta tropical, “restos vegetais” (principalmente devido à vegetação morta) se acumulam no solo a uma taxa de 10 g/cm2/ano. Ao mesmo tempo, entretanto, estes restos vegetais se decompõem a uma taxa de 80% ao ano. Determine a quantidade de restos vegetais, em g/cm2, após 5 anos, sabendo-se que inicialmente esta quantidade era de 300g/cm2. 33. Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50ºF, é posto num forno a 375ºF às 5 horas da tarde. Depois de 75 minutos a temperatura do assado é de 125ºF. Quando será a temperatura do assado de 150ºF (meio mal passado). 34. Uma pedra é solta a partir do repouso de uma altura h acima da superfície da Terra. Desprezando a resistência do ar, qual a velocidade com que atinge o solo? 35. Um tanque hemisférico tem raio do topo de 121.92cm e no instante t=0s está cheio de água. Neste momento um buraco circular com diâmetro de 2.54cm é aberto no fundo do tanque. Quanto demorará para que toda a água do tanque tenha escoado? (Dica: Use a equação de Torricelli gy a dt A y dy 2 ( ) = − e g=9,8m/s2 para chegar a y dt dy y y 64 24 1 ) 8 ( 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ = − ⎛ − π π ) 36. Um aterrissador lunar está em queda livre em direção à superfície da lua a uma velocidade de 1000mi/h. Seus foguetes retro propulsores, quando disparados no espaço livre, produzem uma desaceleração de 33000mi/h2. A que altura da superfície lunar devem os foguetes retro propulsores ser ativados para assegurar um pouso suave (v=0) no impacto? (Considere gLua=13kmi/h2 e rLua=1,08kmi) 37. Suponha que uma corda flexível de 4 pés de extensão começa com 3 pés de seu comprimento arrumados num monte bem junto à borda de uma mesa horizontal, com o resto pendurado (em repouso) para fora da mesa. No instante t=0 o monte começa a desenrolar e a corda começa gradualmente a cair para fora da mesa, sob a força da gravidade puxando a parte pendurada. Assumindo que as forças de atrito de quaisquer tipo sejam negligenciáveis, quanto tempo levará para toda a corda cair para fora da mesa? (Dica: ) ( ) ( dt v dx dt x dv dt xv d gx + = = ω ω ω . Você chegará na integral imprópria ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1/ 8 arccos 0 / 3 4 1/ 2 (sec ) 3 2 du u g T , onde 3 sec2 u = x que deverá der resolvida pela Regra de Simpsom com 100 subintervalos ou por integração numérica.) RESPOSTAS 1) C Kx y + 2 = 2 2) C K x e y + = 3) a) 2 2 2 C y x = + f) C y x = + 3 3 b) C x y = + 2 2 2 g) 2 2 2 ln Cy x y y = + 24 c) C y x y + + = 2 2ln h) r = C senθ d ) C x y + 2 = 2 i) cos2θ 2 C r = e) C y x = + 2 2 3 2 4) e x x y − + − = 3 2 5) 37.8 meses 6) 7.9 anos 7). 6598; 26392 8). 200 9) 11 horas 10) I(15)=0.00098Io 11) t = 60 minutos 12) T(1)=36.67ºF em 3.06 minutos 13) 14) 3.91 kg de sal 15) A(50)=266.41 gramas A(∞) = 600 gramas 16) 100 1000 1000 ( ) t e A t − − = 17) 276 estuantes 18) 51,6 segundos 19) 3,9 m/s 20) t e i t 20 2.1 2.1 ( ) − − = 21) 58 2 3 2 2 = − x y 22) 2 2 xC y = 23) C x y + = 24) x x y 243 ou y 3 3 3 = = 25) 1 2 2 2 2 = − a x a y 26) RC E e t t E t ) / ( 0 1 ( ) − + = 27) 25 anos ,0 0278 ln 2 ≈ t = → 2012 28) De 600 a 689 anos 29) ( ) 1/ 3 2 27 3 + = x y 30) 1298,23m 31) 75+(y0-75).e-2 32) 17,76g/cm2 33) t=105minutos → 6h45min 34) gh v 2 = 35) t=2150s 36)25 milhas 37) t=0,541s ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação diferencial. Envolvida: É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução particular da equação. Envoltória: É a curva tangente, em cada um dos seus pontos, a uma curva da família de curvas integrais. (Cf. PISKOUNOV N. Cálculo diferencial e integral. V II, Porto: Lopes da Silva, 1984, p. 43). Equação da envoltória: Seja a família de envolvidas cuja equação é dada por y = f(x, C) 0 ) ( , , = ⇔ F x y C , onde C é um parâmetro com as seguintes características: Nas envolvidas, C é uma constante; 25 Na envoltória y = g(x), C é uma função de x e y, ou seja, C=C(x,y) ≠ constante. Um ponto P(x,y) pertencente à envoltória também satisfaz a equação F(x, y, C(x,y))=0, pois pertence a certa curva da família. Neste ponto P(x,y), E e dx dy dx dy ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ = ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ , onde : dx e dy ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ é a declividade da reta tangente à envolvida e; dx E dy ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ é a declividade da reta tangente à envoltória E Derivando F(x, y, C(x,y))=0 em relação a x, vem: 0 . . . . . ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ x y y C C F x C C F x y y F x x x F (1) Nas envolvidas, como C= constante, vem de (1): 0 , 0 . ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⇒ = ∂ + ∂ ∂ ∂ y F y F x F dx dy dx dy y F x F . Na envoltória, como em qualquer ponto P (x,y) E e dx dy dx dy ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ = ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ , vem de (1) que: 0 . 0 . . . ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y y C x C C F x y y C C F x C C F . Como C = C(x,y) ≠ constante, vem que = 0 ∂ ∂ C F . Daí, a equação da envoltória é dada resolvendo-se o seguinte sistema: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ∂ ∂ 0 C F F(x, y, C(x,y)) = 0 . EXERCÍCIOS: 1) Dar a envoltória das seguintes famílias de curvas, onde α é o parâmetro. Represente num mesmo sistema cartesiano as curvas integrais e sua envoltória: a) α α 1 . 4 2 + = x y b) 0 2). 2.( 2 2 2 = + + + + α α y y x 02) Determinar a envoltória da família de retas que forma com os semi-eixos positivos um triângulo de área constante igual a 20. Resposta: 1) a) y3 = 27x b) x2 + 4y =0 2) x.y=10 e e e E F(x,y,C(x,y))=0 26 Solução singular de uma equação diferencial: Conceito: A solução singular de uma equação diferencial é uma solução que satisfaz a equação, mas não é uma de suas soluções particulares. Geometricamente, a solução singular é representada pela envoltória das curvas integrais, quando esta envoltória existe. Isto decorre do fato de que em cada ponto (x0, y0) da envoltória, o coeficiente angular da reta tangente à envoltória e à curva integral corresponde a dx dy0 . Assim, os elementos x0, y0 e dx dy0 em cada ponto da envoltória satisfazem a equação diferencial F(x,y, dx dy )=0, uma vez que são sempre elementos de uma linha integral. EXERCÍCIOS: 01) Encontre a solução singular da equação dy y dx x = − 2 . 1 . Represente geometricamente a solução geral e a singular num mesmo sistema cartesiano. 02) Obter a solução geral e singular das seguintes equações: a) 1 2 2 2 = + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ y dx dy y b) y - x. dx dy = 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dy c) y = 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dy - x. dx dy + 2 2x d) y = x. dx dy - ln dx dy e) y = y.(y´)2 +2xy´ Resposta: 01) y= sen( 2 2x +C) e y = 1 ± 02) a) (x-C)2 + y2 = 1 e y = 1 ± b) y = Cx + C2 e y = - 4 2x c) y = 2 2x +Cx + C2 e y = 4 2x d) y = Cx – lnC e y = 1+lnx e) Cx C y 4 4 2 2 − = e como solução singular o ponto P(0,0). 27 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E GRAU DIFERENTE DE 1: EQUAÇÕES DE CLAIRAUT Conceito: São as equações da forma ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = dx dy f dx x dy y . Resolução: Chamando p dx dy = a equação de Clairaut fica ( ) f p xp y + = . Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: dx p dp f p dx x dp dx dy ) (' 1. + + = ( ) 0 ) (' = + p f dx x dp Logo p=C e a solução geral será: ( ) f C Cx y + = Derivando a solução geral parcialmente em relação ao parâmetro C, teremos 0 ) (' = + C f x , que é a condição para obtermos a solução singular. Resolva as seguintes equações e obtenha uma solução singular: 1. ln ' ' 1 y xy y + − = 2. 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ = dx dy dx x dy y 3. ' ' ey y xy = − 4. ( ) ' 2 2 ' 1 y xy y + = 5. 0 2 = + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ y dx x dy dx dy 6. ( ) ' 2 3 ' y xy y = − 7. 0 1 2 3 ⎟ + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎟ − ⎛ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx y dy dx x dy 8. 0 4 5 = ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx − y + dx x dy dy 9. ( ) ' 2 ' − − = y xy y 10. 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ + ⎛ + = dx dy dx x dy y Aplicações: 11. Achar a curva, em que a soma dos segmentos determinados sobre os eixos cartesianos pela reta tangente seja igual a k. 12. Achar a curva, em que o produto dos segmentos determinados sobre os eixos cartesianos pela reta tangente seja igual a k. 28 Respostas: 1. lnx 2 , y ln 1 + = + − = c cx y 2. 3 2 3 4 , 27y x c cx y = − = 3. xlnx - x , y = − = ce cx y 4. 2 - x , y 2 2 2 = + = c cx y 5. y c cx y 4 , x 2 2 = − = 6. y c cx y 12 , x 3 2 2 = − + = 7. 2 3 2 27 1 , 4y x c cx y = + = 8. ( ) ( ) x cx y c 16 0 , y -5 4 5 2 = = + + − 9. / 4 27 , y 1/ 2 3 2 x c cx y = − − = 10. 2 2 1- x , y 1 = + + = c cx y 11. xy k y x 4 ) ( 2 = − + 12. 4xy = k EQUAÇÕES DE LAGRANGE Conceito: São as equações da forma ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx g dy dx xf dy y . Resolução: Chamando p dx dy = a equação de Lagrange fica ( ) g p xf p y + = ( ) . Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: dx p dp g f p dx p dp xf dx dy ) (' ( ).1 ) (' + + = ( )) (' ) (' ( ) p g p dx xf dp f p p + = − ( ) ) (' ) (' ( ) p g p xf dp dx f p p + = − ( ) ) (' ( ) ) (' f p p p g f p x p p f dp dx − = − − (que é uma equação linear). Como em geral não será possível isolar p na solução da equação linear anterior, a solução geral da equação de Lagrange será dada na forma paramétrica: ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y p y x p x Resolva as seguintes equações: 1. dx dy dy x dx y − = 2. 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ = dx x dy dx x dy y 29 3. 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ = ⎛ + dx dy dx x dy y 4. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − dx dy x dx dy y 2 2 1 5. 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ + ⎛ = dx dy dx x dy y 6. dy dx e dx dy y . 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ = ⎛ 7. dx dy dx dy y ln 2 2 ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ = ⎛ 8. dy dx dx x dy y + = 2 9. 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ + = dx dy dx dy y 10. 2 2 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ + ⎛ = dx dy x y Aplicação: 11. Achar a curva em que a reta tangente em qualquer ponto P, da curva, seja bissetriz do ângulo formado pela reta vertical que passa por P e pela reta que une P à origem. Respostas: 1. ( ) [ ] ( ) [ ] ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − − + − − = − − + − − = p C p p p y C p p p p x 1 ln 1 1 1 ln 1 2 2 2 2 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = C p C y p C x 2 2 3. ⎩ ⎨ ⎧ + − + = + − = − − 2 ) 1( 2 2 p2 p e c y p ce x p p 4. ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − 2 / 2 1 / 2 1 6 2 1 3 1 p cp y p cp x 5. ⎩ ⎨ ⎧ − = − = p p c y p p c x /) 3 (2 /3 2 3 / 3 2 6. ⎩ ⎨ ⎧ = + + = p p p p e y c pe e x 2 . 7. ⎩ ⎨ ⎧ + = − = p p y c p p x ln 2 2 / 2 2 8. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + + = + = p C p y p C p x 1 2 ln 2 ln 2 9. ⎩ ⎨ ⎧ − + = + − = 2 1 ln p p y C arcsenp p x 10. 2 2 4 p x y + = 11. 0 1 2 2 2 C x − Cy − = 30 EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM SUPERIOR Tipos especiais de equações de 2ª ordem: 1º) Equação do tipo: ) ( 2 2 f x dx d y = Solução: ) ( 2 2 f x dx d y = f x dx dx d dy f x dx dy dx d ( ) ( ) = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⇒ = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⇒ . Integrando ambos os membros, vem: dx dy =∫ + 1 ( ) C f x dx dy = [ C ]dx x dx f∫ + 1 ( ) y = [ ] 2 1 ( ) C C dx f x dx + + ∫ ∫ Ex: Resolva a equação 0 7 6 2 2 = dx − x + d y 2º) Equação do tipo ) , ( 2 2 dx f x dy dx d y = : Faz-se ( ) , p x p p dx dy = = , vem: dx dp dx d y = 2 2 . Assim, tem-se dx dp ( , ) = f x p , que é uma equação de primeira ordem em relação a p, cuja solução geral desta equação é p =F(x, C1). Como p= dx dy , vem: ∫ + = ⇒ = ⇒ = 2 1 1 1 ) ( , ) ( , ) ( , C F x C dx y F x C dx dy F x C dx dy Ex.: Resolva as equações: a) (1+x) 0 2 2 + dx = dy dx d y b) xe y y ´ 6 ´´ = − 3º) Equação do tipo ) ( 2 2 f y dx d y = : Faz-se ( ) , p y p p dx dy = = , donde vem: dy p dp dx dy dy dp dx dp dx d y = = = . 2 2 . Como [ ] 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) C f y dy p f y dy pdp f y dy pdp f y dy p dp + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∫ ∫ ∫ . Daí vem: 31 [ ] [ ] [ ] 1 1 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 C y dy f dy dx C f y dy dx dy C f y dy dx dy + ± = ⇒ + = ± ⇒ + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ ∫ que é uma equação de variáveis separadas em x e y. Ex.: Resolva a equação y´´+9y = 0 Ex: Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo dos x atraída por outra, situada na origem, com a força F = -4mx-3, sendo x > 0. Determinar a equação do movimento, sabendo-se que para t =0 se tem x = 2 e a velocidade v = - 3 . 4º) Equação do tipo ) , ( 2 2 dx f y dy dx d y = : Procedendo de modo análogo ao anterior, a equação se reduz a ( , ) f y p dy p dp = . Resolvendo-a em relação a p e substituindo pelo seu valor dx dy , obtém-se uma equação de variáveis separadas. Ex.: Resolver a equação y.y´´ - y2.y´=(y´)2 Equações lineares de ordem superior Forma: Equações diferenciais lineares de ordem superior são as equações da forma B A y dx A dy dx A d y dx y d A dx d y A n n n n n n = + + + + + − − − 0 1 2 2 2 1 1 1 L (1), onde Ai e B são constantes ou funções de x, com i = 0 ... n. Quando B=0 diremos que a equação é linear homogênea. Resolução: Iremos inicialmente resolver as equações lineares homogêneas de coeficientes constantes. Observe que se fizermos An=...=A2=0 teremos uma equação linear de primeira ordem cuja solução particular pode ser da forma y = erx . Impondo que tal solução seja também uma solução particular da equação linear homogênea de coeficientes constantes, teremos a equação polinomial 0 0 1 2 2 1 1 = + + + + + − − A A r A r r A A r n n n n L , chamada de equação característica. Em relação à equação característica podemos ter três casos a considerar: i. Todas as raízes da equação característica são reais e distintas Sejam nr r r r ,..., , , 3 2 1 as raízes reais e distintas da equação característica, então a solução geral será dada por: r x n r x r x r x C e n C e C e C e y + ⋅⋅⋅ + + + = 3 2 1 3 2 1 ii. A equação característica tem raízes complexas Sejam bj a r + 1 = e bj a r − 2 = as raízes complexas da equação característica 0 0 1 2 2 = + + A A r A r , proveniente da equação linear de segunda ordem 0 0 1 2 2 2 = + + A y dx A dy dx A d y , então a solução geral será dada por: 32 ( C senbx) bx C e y ax 2 1 cos + = iii. A equação característica tem raízes múltiplas Sejam 2 1 r = r raízes múltiplas da equação característica 0 0 1 2 2 = + + A A r A r , proveniente da equação linear de segunda ordem B A y dx A dy dx A d y = + + 0 1 2 2 2 , então a solução geral será dada por: r x r x C xe C e y 1 1 2 1 + = EXERCÍCIOS: Encontre a solução geral para cada equação dada: 1. 0 'y 4y" = + 2. 0 y" 36y = − 3. 0 y" 9y = + 4. 0 'y 6y y" = − − 5. 0 y" 8 'y 16y = + + 6. 0 y" 3 'y 5y = − + 7. 0 12y" 5 'y 2y = − − 8. 0 y" 4 'y 5y = + − 9. 0 y 3y" 2 'y = + + 10. 0 4y" 5 'y '''y = − − 11. 0 y '''y = − 12. 0 3 'y 9y ''y 5 '''y = + + − 13. 0 2y ''y '''y = − + 14. 0 y 3 'y 3 ''y '''y = + + + 15. 0 dx y d dx y d dx d y 2 2 3 3 4 4 = + + 16. 0 9y dx 24 d y dx 16 d y 2 2 4 4 = + + Resolva as seguintes equações sujeita às condições indicadas: 17. -2 y'(0) e 2 ,0 y(0) 16y ''y = = = + 18. 3 y'(0) e 0 ,0 y(0) 6 'y 5y ''y = = = + + 19. 0 -1 e y'(0) ,0 y(0) 2 ' 5 '' 2 = = = + − y y y 20. 0 y'(0) ,0 y(0) ' 2 '' = = = + + y y y 21. 1 y'(1) e 0 ,0 y(1) '' 3 ' 2 = = = + − y y y 22. -7 e 1 y''(0) y'(0) e 0 ,0 y(0) 36 ' '' 12 ''' = = = = + + y y y Respostas: 1. x / 4 2 1 c e c y − + = 2. 6x 2 6x 1 c e c e y + = − 3. c sen3x c cos3x y 2 1 + = 4. 2x 2 1 3x c e c e y − + = 5. 4x 2 4x 1 c xe c e y − − + = 33 6. 29)x / 2 ( 3 2 29)x / 2 1 ( 3 c e c e y − − − + + = 7. x / 4 2 1 2x /3 c e c e y − + = 8. c sen x) cos x c( e y 2 1 2x + = 9. 3 x) 2 c sen 3 x 2 cos c( e y 2 1 x / 3 + = − 10. 5x 3 x 2 1 c e c e c y + + = − 11. 2 x) 3 c sen 2 x 3 cos c( e c e y 3 2 x / 2 1 x + + = − 12. 3x 3 3x 2 x 1 c xe c e c e y + + = − 13. c sen x) cos x c( e c e y 3 2 x 1 x + + = − 14. x 2 3 x 2 x 1 c x e c xe c e y − − − + + = 15. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = − 2 x 3 c sen 2 x 3 c cos e c x c y 4 3 x / 2 2 1 16. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = x c sen x x c x c sen x c y 2 3 2 3 cos . 2 3 2 3 cos 4 3 2 1 17. 2 4 2cos4 sen x x y − = 18. 4 3 4 3 5 x x e e y − − + = − 19. 3 (3 / 2) 3 / 2) cos( / 2 / 2 x sen e x e y x x + = − 20. y = 0 21. 1 2 2 − − − = x x e e y 22. 6 36 5 36 5 6 6 x x xe e y − − + − = EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma: p c y y y + = , onde: yc é chamada solução característica ou complementar e é determinada resolvendo a equação linear como se fosse homogênea; já para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes métodos: i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange iii. Método do operador derivada D. MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR Neste método impõem-se uma solução particular, de acordo com a forma do termo independente da equação linear. Podemos dividir este método nos seguintes casos particulares: 34 1° caso: O termo independente B é uma exponencial da forma B = eax . A solução particular terá a forma: h ax p Ax e y = , onde h é a multiplicidade da raiz r=a na equação característica e A é um coeficiente a determinar. 2° caso: O termo independente B é da forma B = senax ou ax B = cos . A solução particular terá a forma: ) cos ( ax B Asenax x y h p + = , onde h é a multiplicidade da raiz r=aj na equação característica e A e B são coeficientes a determinar. 3° caso: O termo independente B é um polinômio de grau m. A solução particular será um polinômio de grau m+r, onde r é a ordem da derivada de menor ordem da equação linear. 4° caso: O termo independente B é uma soma, subtração ou multiplicação de exponenciais, polinômios, senos ou cossenos. A solução particular será uma soma, subtração ou multiplicação dos termos do termo independente. EXERCÌCIOS: Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar: 1. 6 " 3 ' 2 = + + y y y 2. 3 30 " 10 ' 25 + = + − x y y y 3. x x y y y 2 ' 4 " 1 2 − = + + 4. 6 3 2 4 ' 2 '' 2 + − = − + x x y y y 5. 54 9y ''y = − 6. x y y y 2sen3 ' '' = − + 7. 6sen x 25y ''y = + 8. x / 2 (4) e y 16y = − 9. ex y y y 8 5 ' 4 '' = + − 10. 1 e dx y d dx 2 d y dx d y x 2 2 3 3 4 4 + = + − 11. x e x y y 48 2 3 " 3 = − + 12. 3 ' " y −y = − 13. 2 3 4 ' " ex y y y + = − + 14. x y y 3sen 2 " 4 = + 15. x x y y 2 sen " = + 16. x e y y y x cos2 " 2 ' 5 = + − 17. x x y y y 3cos2 sen " 2 ' + = + + 18. x y y cos 3 '' 6 ''' − = − 19. ex x y y y y 4 3 ' '' 3 ''' − = − + − 20. 2 2 2 4 4 )1 ( 2 − = + + x y dx d y dx d y 21. x y y 8sen2 '' = + Resolva as seguintes equações diferenciais, sujeita às condições iniciais dadas: 22. 2 y' 8 1 e 2 ,2 y 8 '' 4 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + π π y y 23. -10 0 e y'(0) 6 , y(0) ' '' 5 = = = − + x y y 24. 1 -3 e y'(0) , y(0) 35 ' 5 '' 4 = = = + + e− x y y y 35 25. 0 e 0 x'(0) , x(0) sen 2 2 2 = = = + t F x dt x d o ω ω 26. 0 y' 2 e 0 sen 2 , y 2 cos '' ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + π π x x y y 27. 2 - 9 y''(0) 5 e 2 1 , 2 y'(0) , y(0) 40 24 2 ' '' 2 ''' 5 = = = + − = + − x x e e y y y Respostas 1. 2 + 3 + = − − x x Be Ae y 2. 5 3 5 6 5 5 + + + = x Bxe Ae y x x 3. 7/ 2 4 2 2 2 + − + + = − − x x Bx Ae y x x 4. 9 2 5 2 6) ( 2 6) (2 − − − + = − + − + x x Be Ae y x x 5. 6 3 3 − + = − x x Be Ae y 6. 73 3 16 73 6cos3 2 ) 3 2 3 cos 1 / 2 ( sen x x x Bsen x A e y + − + + = 7. 4 5 cos5 senx Bsen x x A y + + = 8. /8 / 2 /2 cos / 2 / 2 / 2 x x x xe Dsenx x C Be Ae y + + + + = − 9. 3 8 4 x x x xe Be Ae y − + = 10. ( )1 2 2 + + + + + = x x x e x Dxe Ce Bx A y 11. e x x x x Bsen x A y 3 2 4/ )3 4 ( 4 3 cos 3 − + + − + = 12. x Be A y x + 3 + = 13. / 2 2 / 2 / 2 2 1 12 x x x x e Bxe Ae y + + + = 14. x x Bsen x x A y cos2 4 3 2 cos2 − + = 15. xsenx x x x B Asenx y 2 1 2 cos cos 2 + − + = 16. 4 2 2 ) ( cos2 xe sen x Bsen x x A e y x x + + = 17. 25 9cos2 25 2 12 2 cos x sen x x Bxe Ae y x x − + − + = − − 18. 37 37 6cos 4 2 6 senx x x Ce Bx A y x + − − + + = 19. 3 2 3 3 2 x x x x x e x Cx e Bxe Ae y − − − + + = 20. 3 2 cos cos 2 − − + + + + = x x Dxsenx x Cx Bsenx x A y 36 21. 3 4cos2 4 cos x x B Asenx y + + + = 22. 1/ 2 2 2 − = sen x y 23. x x e y x 30 3 200 200 2 / 5 + − + = − − 24. x x x e senx e x e y 4 2 2 7 9 cos 10 − − − + + = − 25. t F t sen t F x o o ω ω ω ω cos 2 2 2 − = 26. 3 2 2 4 6 cos sen x xsenx senx x y + + − = − π 27. / 2 12 2 9 11 11 5 2 x x x x e x e x xe e y + − + + − = MÉTODO DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS (LAGRANGE) Vamos desenvolver o método inicialmente para uma equação linear de segunda ordem B A y dx A dy dx d y = + + 0 1 2 2 (1). A solução característica de (1) é dada por 2 2 1 1 C y C y yc + = e a solução particular será dada por 2 2 1 1 u y u y y p + = , onde 1 2 e u u são funções que serão determinadas pela resolução do sistema: ⎩ ⎨ ⎧ = + = + B y u y u y u y u 2 2 1 1 2 2 1 1 ' ' ' ' 0 ' ' EXERCÍCIOS: Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método da variação de parâmetros: 1. x y y sec " = + 2. x e y y y x = + − " 2 ' 3. senx y y 1 " = + 4. g x y y 3 cot " 9 = + 5. 2 4 2 2 " x ex y y = − 6. senx y y = "+ 7. x y y cos2 " = + 8. x y y cosh " = − 9. x e y y x cos " 4 = − 10. ex y y y + = + + 1 1 " 3 ' 2 11. senex y y y = + + " 3 ' 2 12. x y y 2sec3 '' 9 = + 13. x ex y y y 2 2 ' '' − = + − 14. x y y sen2 4 '' = + Respostas: 1. cos .ln(cos ) cos x x xsenx Bsenx x A y + + + = 2. x xe Bx e A y x x ln ) ( + + = 3. ) .ln( .cos cos senx senx x x Bsenx x A y + − + = 37 4. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + + = 2 3 ln 9 3 3 cos3 x tg sen x Bsen x x A y 5. 2 2 2 x x x e Be Ae y + + = − 6. 2 cos cos x x Bsenx x A y − + = 7. x Bsenx x A y 6 cos 2 1 2 1 cos − + + = 8. 2 4 4 xsenhx Be Ae xe xe Be Ae y x x x x x x + + = − + + = − − − 9. 2cos ) ( 10 2 2 x senx e Be Ae y x x x − + + = − 10. ) ) ln(1 ( 2 2 x x x x x e e e Be Ae y + + + + = − − − − 11. x x x x sene e Be Ae y 2 2 − − − − + = 12. 9 (cos3 )ln(cos3 ) 2 3 3 2 cos3 3 x x sen x x B Asen x y + + + = 13. ln ) 1( x e Bxe Ae y x x x + − + = 14. 2 ) 8 1( 1 cos2 2 xsen x x B Asen x y − + + = MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA Conceito: Dada uma função definida por y=f(x), chama-se operador derivada, denotado por D, a dx D = d , 2 2 2 dx d D = , 3 3 3 dx d D = , ... Propriedades: Sejam u=u(x) e v =v(x): P1. D(u+v)=Du+Dv P2. D(a.u)=a.Du, a ∈ℜ P3. Dm(Dnu)=Dm+nu, com m∈ℜ e n∈ℜ. P4. O operador direto a u Du a u D . ) ( − = − , a ∈ℜ. P5. O operador inverso ∫ − = − u dx e e a u D ax ax . . 1 , a ∈ℜ. Exemplo: Resolver a equação ( ) e x y D D 3 2 6 5 = + − , utilizando o operador inverso. ( ) e x y D D 3 2 6 5 = + − e x y D D 3 3) 2)( ( = − − e x D y D 3 2 1 3) ( − = − ∫ − = − dx e e e y D x x x 3 2 2 . 3) ( ( C) e e y D x x + = − . 3) ( 2 x x Ce e y D 2 3 3) ( + = − 38 ) 3 ( 1 2 3 x x Ce e D y + − = ∫ + = − dx Ce e e e y x x x x ) ( 2 3 3 3 ) ( 1 3 C Ce x e y x x + − = − x x x xe C e C e y 3 2 2 1 3 + + = SIMPLIFICAÇÃO DO MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA Casos particulares 1°. Na equação diferencial eax P D y = ) ( a solução particular será dada por ax p P a e y ( ) 1 = , se P(a)≠0 2°. Na equação diferencial ) ( ) ( 2 sen ax y P D = a solução particular será dada por ) ( ) ( 1 2 sen ax a P y p − = . 3°. Na equação diferencial ) cos( ) ( 2 ax y P D = a solução particular será dada por ) cos( ) ( 1 2 ax a P y p − = . 4°. Na equação diferencial xm P D y = ) ( a solução particular será dada por m p P D x y ) ( 1 = , onde ) ( 1 P D deverá ser desenvolvido em série de potências crescentes em D. 5°. Na equação diferencial . ( ) ) ( f x e P D y = ax a solução particular será dada por ( ) ) ( 1 a f x P D e y ax p + = . EXERCÍCIOS: Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o operador inverso: 1. ( ) x e y D D x sen 2 3 2 = + − 2. ( ) 1 16 4 3 + = − e x D y D 3. ( ) e x y D D 3 2 5 12 7 = + − 4. ( ) x xe y D D 2 3 2 3 − = + − Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores: 5. ( ) e x y D D 3 2 5 2 3 = + − 6. ( ) e x y D D 2 2 3 2 3 = + − 7. ( ) ( ) x x e e y D D − + = − − 2 3 2 1 2 8. ( ) e x y D D 4 2 12 = − − 9. ( ) x y D 3cos 4 2 = + 10. ( ) x y D D 2sen 2 2 3 2 = + − 11. ( ) x y D 20sen 5 25 2 = + 12. ( ) 1 4 2 − = − x y D 13. ( ) 3 2 3 2 2 − = + − x y D D 14. ( ) 1 2 4 4 2 2 3 − + = + − x x D y D D 15. ( ) 9 4 3 2 2 − = − − ex y D D 16. ( ) x ex y D 2 2 4 = − 39 17. ( ) e sen x y D D x 2 2 3 2 = + − 18. ( ) x e y D D x sen 5 2 2 = + − 19. ( ) x e x y D D D x 4sen 3 3 2 2 2 2 3 4 + + = − + 20. ( ) x e xe y D D x x cos 2 3 2 3 4 3 2 + = + − Respostas 1. ) (cos 2 2 senx x e Be Ae y x x x − + + = 2. 16 32 4 4 4 x xe Ce Be A y x x x − + + + = − 3. x x x xe Be Ae y 3 4 3 − 5 + = 4. 18 27 2 2 2 2 2 x x x x x x e xe Ce Bxe Ae y − − − + + + + = 5. x x x e Be Ae y 3 2 2 + 5 + = 6. x x x xe Be Ae y 2 2 + 3 + = 7. x x x x x e x e Ce Bxe Ae y − − − + + = 6 1 2 3 2 2 8. 7 4 4 3 x x x xe Be Ae y + + = − 9. x Bsen x x A y cos 2 cos2 + + = 10. 2 ) 10 (3cos2 1 2 sen x x Be Ae y x x − + + = 11. x x Bsen x x A y 2 cos5 5 cos5 − + = 12. 4 1 4 2 2 + − + = − x Be Ae y x x 13. 4 1 2 3 2 2 2 + + + + = x x Be Ae y x x 14. 8 5 2 12 2 3 2 2 x x x Cxe Be A y x x + + + + + = 15. 3 3 + − + = − x x x e Be Ae y 16. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + = − 27 14 9 4 3 2 2 2 x x e Be Ae y x x x 17. ( sen x) x e Be Ae y x x x 2 2 cos2 10 2 − + + = 18. 3 2 ) ( cos2 e senx Bsen x x A e y x x + + = 19. ( senx) x e x x x De Ce Bx A y x x x 2 5 cos 2 20 3 27 7 27 2 36 2 2 3 4 3 + + + − − − + + + = − 20. cos2 ) 2 8 ( 3 )1 ( 2 3 3 x sen x e x xe Be Ae y x x x x + − − + + = 40 EQUAÇÃO DE EULER-CAUCHY A equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma: B A y dx b dy A ax dx d y b ax A dx d y b ax A n n n n = + + + + + + + 0 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( L , onde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos a te b ax = . + , que irá eliminar os coeficientes variáveis. EXERCÍCIOS: Resolver as seguintes equações diferenciais: 1. x y dx dy x dx y d x 6 12 )1 2(2 )1 (2 2 2 2 = − + − + 2. 0 12 2 2 2 2 = − + y dx x dy dx y d x 3. x y dx x dy dx y d x ln 2 2 2 = + − 4. x ex y xy y x 4 2 2 ' 3 3 '' = + − 5. x y dx x dy dx y d x 3 2 2 2 2 2 = + − 6. 0 ' 2 2 '' 3 ''' 2 3 = + − + y xy x y x y 7. x x x y xy x y 3 ln ' 2 2 ''' 2 3 + = − + 8. ) ln(1 ) ' 6 18 1( '' ) 9 1( ''' ) 1( 2 3 x y x y y x y x + = + + + + + + 9. 4 y'(1) e 0 ,0 com y(1) ' 3 '' 2 = = y + xy = x 10. 2 e 1 y'(1) ,0 com y(1) ' '' 2 = = = + + y xy y x Resolva as seguintes equações diferenciais por desenvolvimento em série: 11. − 2 = 0 − x y dx x dy 12. 0 ' 2 = − − x ex y xy 13. 0 ' '' ) 1( 2 = − + + y xy y x Respostas 1. 4 1 16 3 6 2 1 2 1 2 2 3 + + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = x x B A x y 2. 4 3 − + = Bx Ax y 3. x x Bx Ax y ln 2 ln + + + = 4. x x xe x e Bx Ax y 2 2 2 3 − + + = 5. x x Bx Ax y 2 − 3 ln + = 6. 2 ln − + + = Cx x Bx Ax y 41 7. [ ] x x x x x x Csen x x B Ax y 3 ln 2 ln (ln ) ) cos(ln 2 2 + − + + + = 8. 36 11 6 )1 ln( )1 ( )1 ( 1 3 2 − + + + + + + + = x x C x B x A y 9. 2 2 2 x y − = 10. (ln ) 2 cos(ln ) x sen x y + = 11. x2 Ax y + = 12. xex Ax y + = 13. ... 8 2 4 2 1 + − + + = A x A x A x A y o o o APLICAÇÕES 1. Molas Um corpo de massa m é conectado a uma mola de comprimento l e constante elástica k, provocando um deslocamento s na mola, atingindo o equilíbrio. Após o equilíbrio, se a massa for deslocada de uma distância x e solta, teremos um movimento harmônico simples. Pela 2ª lei de Newton F = ma . Como 2 2 dt a = d x teremos: mg kx ks dt m d x + − = − 2 2 Mas como na posição de equilíbrio mg=ks, vem: kx dt m d x = − 2 2 , (1) sujeito às condições iniciais x(0)=x0 e x’(0)=x1. Resolvendo, teremos a equação do movimento. Obs.: Quando tivermos uma força de resistência ao movimento, devida ao meio ambiente, por exemplo, vamos supor que esta força seja proporcional à velocidade. Assim a equação (1) acima ficará: s l x equilíbrio Posição inicial mg K(s+x) 42 dt dx kx dt m d x −α = − 2 2 , onde α é uma constante de proporcionalidade. 2. Deformação em vigas horizontais Dada uma viga simplesmente apoiada de comprimento (vão) 2l, sujeita a uma carga uniformemente distribuída q. Para determinar as reações de apoio, poderemos associar a carga uniformemente distribuída a uma carga concentrada equivalente, aplicada no centro de gravidade da carga uniforme. Aplicando as equações de equilíbrio da Estática ( ) ∑ ∑ ∑ = = = 0 M e 0 V , 0 H chegaremos a ql R R B A = = , onde H, V e M são as componentes horizontais, verticais e momentos estáticos, respectivamente. Para a determinação da equação dos momentos, tomaremos uma seção S, qualquer, na estrutura. Chegando a: 2 2 . 2 . qx2 qlx qx x R x M A S − = − = . Sabemos da Mecânica que M R EI = , onde E é o módulo de elasticidade, I é o momento de inércia da seção transversal, R é o raio de curvatura da linha elástica. Do Cálculo Diferencial, sabemos que 2 2 2 3/ 2 1 dx y d dx dy R ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = . Como a inclinação da linha elástica é muito pequena, podemos impor que dx = 0 dy , chegando a EI M dx d y = 2 2 , que sujeita as condições de contorno y(0)=0 e y’(l)=0, nos dará a equação da linha elástica. x R A S l l R A R B 2ql 2l 43 3. Circuitos elétricos RLC em série Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, chegamos a: ( ) 2 2 E t C q dt R dq dt L d q = + + , que sujeito às condições iniciais i(0)=io e q(0)=qo, nos dará a equação da carga q=q(t) num circuito RLC, em série. Exercícios: 1. Uma certa mola, cuja constante é k=48lb/ft, é mantida na vertical, estando sua extremidade superior presa a um suporte. Um corpo pesando 16lb é amarrado à extremidade inferior da mola. Depois do sistema em repouso, o corpo é puxado 2 polegadas para baixo e em seguida solto. Desprezando a resistência do ar, discutir o movimento. 2. Uma viga horizontal simplesmente apoiada, de comprimento 2l está sujeita a uma carga uniformemente distribuída q. Determinar a equação da linha elástica e a deformação máxima (flecha). 3. Determinar a equação da corrente (i) e a equação da carga (q) em um circuito com uma indutância de 0,5 henry, uma resistência de 20 ohms, uma capacitância de 100 microfarads e uma força eletromotriz dada por t E t 100cos200 ( ) = , sujeito às condições iniciais i=0 e q=0 quando t=0. 4. Um peso de 0,5kg é atado a uma mola de 1,5m de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 2,48m. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2m acima da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento x(t) se é sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea. Respostas: 1. 6 cos 96 t x = 2. 3 24 6 3 4 3 ql x qx qlx EIy − − = , EI ql y 24 5 4 max = 3. t sen t t sen t e q t 200 ,0 005 ,0 01cos200 400 ) ,0 0075 ,0 01cos400 200 ( + + − − = − t t sen t sen t e i t cos200 200 2 400 ) 5,5 cos400 200 ( + − + − = − 4. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − 3 3 2 2cos3 ( ) sen t t e x t t R L C E 44 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Chama-se sistema de equações diferenciais a um conjunto de equações diferenciais que tenham as mesmas funções incógnitas e que se verifiquem simultaneamente para as mesmas soluções. Neste item iremos estudar somente os sistemas de equações diferenciais ordinárias de coeficientes constantes em que o número de equações seja igual ao número de funções incógnitas. A resolução dos sistemas de equações diferenciais é análoga à resolução dos sistemas de equações algébricas lineares. É sempre conveniente escrever o sistema em função do operador derivada D. EXERCÍCIOS: Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais: 1. ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = − − 2 2 2 2 2 2 2 x z dx d z dx dy e y dx dz dx y d x 2. ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + = + − − = − + + senu z y x du dz z y x du dy z y x du dx 5 2 0 8 3 4 0 14 3 6 3. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = − − + 0 3 4 2 z y dx dy e z y dx dz dx dy x 4. ⎩ ⎨ ⎧ = − + + = + + − x z D y D senx z D y D cos )1 ( )1 ( 2 2 2) 2( 3) ( 5. ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + − − = − x z y dx dz dx y d x dx dz dx y d 2 2 3 2 2 2 2 2 6. 4y -3x 2 , y' 3 ' + = + = − y x x , com x=x(t), y=y(t), x(0)=0 e y(0)=2 7. e-t x -15y , 3x'-4y' 3 ' 2 ' + = + + = − te y x x y Respostas: 1) ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − + − − = + − − + + + = − − x e Dsenx x C Be Ae y x e Dsenx x C Be Ae z x x x x x x 2 2 3 cos 2 2 2 2 2 3 2 2 cos 2 2 2 2 2 45 2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − + + = − + − − = + − + + = − − − 10 cos 10 17 5 2 4 2 5 4 cos 5 12 5 4 2 cos 5 2 2 2 u senu Ce Be Ae z u senu Ce Be y u senu Ce Be Ae x u u u u u u u u 3) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + − + + − = − + = x x e B senx A x B A z e Bsenx x A y 2 3 ) ( )cos (3 2 cos 4) ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − − = + + + = − − − − 130 61 130 33cos 3 4 cos ) 65 (8 1 5 3 5 3 senx x Be Ae z x senx Be Ae y x x x x 5) ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − − = + − − + + = − − 36 11 18 2 3 54 11 18 9 2 3 3 2 2 3 3 2 x x Ce Be y x x x Ce Be A z x x x x 6) ) 5 (6 2 , ) y 5 ( 4 2 3 2 3 t t t t e e e e x − − − = − = 7) 10 3 } ) ( )cos3 3{( 1 4 , y 20 11 3 3 cos t t t e B sen t A t B A e e Bsen t t A x + + + − = − − + = − EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Conceitos: São as equações diferenciais que possuem derivadas parciais de uma função de várias variáveis. A maior ordem da derivada que aparece na equação diferencial é chamada de ordem da equação diferencial parcial. Com respeito às soluções de uma equação diferencial parcial devemos citar as soluções: Solução geral que é aquela que possui funções arbitrárias, a solução completa que possui constantes arbitrárias e a solução singular que é a envoltória da família de superfícies correspondentes à solução completa. Usualmente, nas equações diferenciais parciais que possuam derivadas parciais da função z=f(x,y), denota-se p x z = ∂ ∂ e q y z = ∂ ∂ , ou seja, a equação xy y yz z x zx z = 2 ∂ ∂ ∂ + ∂ pode ser escrita da forma xy yzq zxp = 2 + . As equações da forma R Q q P p = + . . são chamadas de equações lineares, onde P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z) e R=R(x,y,z) Determinação da solução geral: Nos casos particulares das equações lineares R Q q P p = + . . , onde P=0 ou Q=0 a solução geral é facilmente determinada por integração, vejamos os exemplos: 46 a) 3 4 − + ∂ = ∂ y x x z terá solução geral ( ) 3 2 2 f y x xy x z + − + = b) 3 4 − + = ∂ ∂ y x y z terá solução geral ( ) 3 2 4 2 f x y y xy z + − + = EXERCÍCIOS: Determine a solução geral das equações diferenciais parciais: 1. x + yp = 0 2. z y x xp + 2 + 2 = 3. y − xq = 0 4. x z y xp − = − 5. x z x z x z 12 6 5 2 2 = ∂ + ∂ − ∂ ∂ 6. ex z x z x z = ∂ − ∂ − ∂ ∂ 5 4 2 2 7. 2 2 2 y x x y z + = ∂ ∂ ∂ 8. 2 2 2xy x y z = ∂ ∂ ∂ Respostas: 1. ( ) 2 2 y y x z +φ = − 2. y x y x z − − = ) 2φ( 3. ( ) 2 2 x x y z +φ = 4. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − = ( ) ln x x x y x z φ 5. 3 5 2 ( ). ). ( 3 2 2 1 + + + = x y e y e z x x φ φ 6. 8 ( ). ). ( 5 2 1 x x x e y e y e z − + = − φ φ 7. ( ) ( ) 3 3 2 1 3 3 y x xy x y z φ φ + + + = 8. ( ) ( ) 3 2 1 2 3 y x x y z φ φ + + = Nos casos gerais poderemos empregar o método de Lagrange, que consiste na resolução do sistema R dz Q dy P dx = = , cujas soluções são u=u(x,y,z)=a e v=v(x,y,z)=b e as relações 0 ( , ) φ u v = ou (v) u = φ ou ainda (u) v = φ serão soluções gerais da equação diferencial linear, desde que pelo menos u ou v tenham a variável z. Exemplos: Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais parciais: 1) z qy px 2 3 2 = − Na comparação com a equação linear vemos que x P = 2 , y Q = −3 e z R = 2 , que substituído no sistema de Lagrange R dz Q dy P dx = = , resulta z dz y dy x dx 2 3 2 = = − . De y dy x dx 3 2 = − obtemos a x y 3 2 = e de z dz y dy 2 3 = − teremos b z y 3 2 = Assim uma solução geral pode ser ) ( 2 3 3 2 x y z y = φ 2) yp + xq = 0 47 Substituindo no sistema de Lagrange P = y , Q = x e R = 0 , teremos: 0 dz x dy y dx = = De x dy y dx = obtemos a y x = − 2 2 e de 0 dz x dy = teremos z = b , logo: ) ( 2 2 y x z − = φ é uma solução geral. 3) z z q y x p y x = − + + − ) (2 ) ( O sistema auxiliar é dado por z dz z y dy z y x dx = − = + − 2 De z dz z y dy = 2 − vem a equação linear 1 2 − z = − y dz dy cuja solução é a z z y = 2 − 1 Para determinarmos uma segunda equação diferencial a partir do sistema auxiliar, vamos aplicar propriedades das proporções, assim: y x y d x z y z y x dy dx z dz z y dy z y x dx + + = − + + − + = = − = + − ) ( 2 2 , de onde obteremos: y x y d x z dz + + = ) ( b y x z = + Logo ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + z z y y x z 1 2 φ é uma solução geral. EXERCÍCIOS: Determine a solução geral das equações diferenciais parciais: 1. 1 3 2 p + q = 2. x y x zq zp y 2 2 2 = − 3. xyt t t z y y z t x z ∂ = ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ 4. z q p = + 5. 2 4 3 p + q = 6. z yq xp = + − 7. xy yzq xzp = + 8. 2 2 2 z y q x p = + 9. xyz xq yp = 2 − 10. 1 .cos . = + x q p senx 11. z q y x p x y = + 2 3 2 3 12. z y x xyq p y x 3 2 2 ) ( 2 ) ( + = + + Respostas: 1. 0 2 ) 2 3, ( = − − y z x φ x 2. ) ( 3 3 2 2 y x z y + = + φ 3. 0 3 ) ( / , / , φ x y t y xyt − z = 4. ) ( y x e z y − = φ 5. 4 ) (3 2 3 x y x z − + = φ 6. (xy) xz = φ 7. ) ( z2 xy x y − = φ 8. 1/ ) 1( / z x xy y x − = − φ 9. ) . ( 2 2 2 y x e z x + = φ 10. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = − 2) ln( ) ln( tg x z y senx φ 48 11. 0 , 6 6 3 3 3 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + y x z y φ x 12. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − + 2 2 2 2 2ln ) ( y x x z y x φ Determinação da solução completa – Método de Charpit: Dada uma equação diferencial não linear 0 ( , , , , ) f x y z p q = (1), com z uma função de x e y. O método de Charpit para a determinação da solução completa (1), consiste em encontrar uma equação 0 ( , , , , ) F x y z p q = (2) tal que na resolução simultânea de (1) e (2) possamos determinar uma relação ( , , ) p = P x y z e ( , , ) q = Q x y z de modo que a na diferencial total q dy p dx dz . . + = possa ser integrada. Para a obtenção de (2) deveremos resolver o sistema auxiliar: 0 dF q q f p f p dz z q f y f dq z p f x f dp q f dy p f dx = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ − = ∂ ∂ ∂ + ∂ = ∂ ∂ ∂ + ∂ = ∂ − ∂ = ∂ ∂ − (3) Exemplos: Determine a solução completa das seguintes equações diferenciais parciais: a) p2 xp q + = − A função 0 ( , , , , ) f x y z p q = (1) é 2 = 0 − + = p xp q f e substituída no sistema auxiliar nos fornece: 0 2 0 1 2 2 dF q p px dz dq p dp dy x p dx = − + − = = = = − − A partir de p dy = dp −1 vem a e y p = . − Substituindo na equação diferencial dada implica em: y y a e axe p xp q 2 2 2 − − + = − + = − . Substituindo p e q em q dy p dx dz . . + = , teremos: ( )dy a e ax e dx a e dz y y y 2 2 . . − − − + + − = , que é uma diferencial exata, pois x a e ax e y a e y y y ∂ + = ∂ − ∂ ∂ − − − ) . ( . 2 2 , e integrada resulta em: b a e ax e z y y + − = − − 2 . 2 2 , que é a solução completa. b) 0 3 2 3 = p + q − O sistema auxiliar será 0 2 2 0 0 2 2 2 dF q p dz dq dp q dy dx = − − = = = = − − e da razão 0 dp teremos p = a , que substituído na equação dada nos fornece 3 2 3 a q − = . Substituindo p e q em q dy p dx dz . . + = , teremos ady adx dz 3 3 − 2 + = . Integrando a diferencial anterior teremos a solução completa: b ay ax z + − + = 3 2 3 49 c) 0 5 2 2 yp + q = O sistema auxiliar será 0 5 4 2 0 5 4 2 2 dF q y p dz q dq dp dy yp dx = − − = = = = − − e da razão 0 dp teremos p = a , que substituído na equação dada nos fornece 5 2 a2 y q = − , assim a y dy a dx dz 5 2 . 2 − = nos dará a solução completa b a y ax z + − = 5 2 2 . d) pq = z 0 dF q q f p f p dz z q f y f dq z p f x f dp q f dy p f dx = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ − = ∂ ∂ ∂ + ∂ = ∂ ∂ ∂ + ∂ = ∂ − ∂ = ∂ − ∂ 0 2 dF pq dz q dq p dp p dy q dx = = − = − = − = − − De q dq p dp = − − vem a q p = . Resolvendo ⎩ ⎨ ⎧ = = z pq aq p teremos: az p = e a z q = que substituído na diferencial q dy p dx dz . . + = nos fornece dz ady z azdx = + , que integrado nos dará a solução completa b a y ax z + + = 2 . A aplicação do método de Charpit para determinadas formas de equações diferenciais parciais nos darão regras mais simplificadas para a obtenção da solução completa. Podemos citar os seguintes casos: i. 0 ( , ) f p q = Uma solução completa é c by ax z + + = , onde 0 ( , ) f p q = com a = p e b = q . ii. 0 ( , , ) f x p q = Fazendo q = a em 0 ( , , ) f x p q = determinaremos 1( , ) a x p = f , que substituído em q dy p dx dz . . + = e integrado nos dará a solução completa b ay a x dx f z + + = ∫ 1( , ) . iii. 0 ( , , ) f y p q = Fazendo p = a em 0 ( , , ) f y p q = determinaremos 1( , ) a y q = f , que substituído em q dy p dx dz . . + = e integrado nos dará a solução completa b a y dy f ax z + + = ∫ 1( , ) . iv. 0 ( , , ) f z p q = A partir das equações auxiliares do método de Charpit teremos q = ap (1), assim a equação 0 ( , , ) f z p q = ficará 0 ) ( , , f z p ap = (2). A integração de q dy p dx dz . . + = após a substituição de q e p, das equações (1) e (2) anteriores, nos dará a solução completa. 50 v. ( , ) f p q qy px z + + = Uma solução completa tem a forma c by ax z + + = , com ( , ) c = f p q . EXERCÍCIOS: Determine a solução completa das equações diferenciais parciais: 1. 9 2 2 = p + q 2. = 0 + + q p pq 3. 2 2 q pq p qy px z + + + + = 4. p2q2 qy px z + + = 5. qx p 2 = 2 6. p = q2 7. q p pq − = 2 8. p = y2q2 9. qy x p = + 10. qz p = + 2 1 Respostas: 1. b a y ax z + − + = 2 9 2. b y a a ax z + + − = 1 3. ab b a c by ax z + + = + + = 2 2 , onde c 4. a2b2 by ax z + + = 5. b ay a x z + + = ± 2 . 3/ 2 3 2 6. b ay a x z + + = 2 7. b a ay ax z + + + = 1 2 8. b y a ax z + ± = ln 9. b y a x ax z + + − = ln 2 2 10. ) 4 ( 4) 4ln( 4 2 2 2 2 2 2 b ay a x a z az az a z a z + + = − + − − + REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações diferenciais. São Paulo: LTCE. AYRES Jr, Frank. Equações diferenciais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill do Brasil, 1970. EDWARDS Jr, C. H. Equações diferenciais elementares com problemas de contorno. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1995. ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.