Derivada Direcional e Gradiente - Teorema e Demonstração

134 DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE O objetivo desta seção é destacar mais algumas propriedades do vetor gradiente Inicialmente vamos provar que se f for diferenciável em x0 y0 então f admitirá derivada direcional em todas as direções no ponto x0 y0 e cada derivada direcional se exprime de modo bastante simples em termos do gradiente de f em x0 y0 Teorema 1 Sejam f A R² R A aberto x0 y0 A e u a b um vetor unitário Se fxy for diferenciável em x0y0 então f admitirá derivada direcional em x0 y0 na direção u e fu x0y0 fx0y0 u Demonstração Seja g dada por g t f x0 at y0 bt da diferenciabilidade da f em x0 y0 segue a diferenciabilidade da g em t 0 e pela regra da cadeia g 0 fx x0 y0 a fy x0 y0 b f x0 y0 a b Como fu x0 y0 g 0 resulta fu x0 y0 fx0 y0 u O teorema acima contanos que se f x y for diferenciável em x0 y0 então fu x0 y0 fx0 y0 u Entretanto se f não for diferenciável em x0 y0 esta relação não tem nenhuma obrigação de se verificar Veja Exercicio 21