Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo III - Derivadas Parciais e Plano Tangente

Exercicio 184 1 Seja gxy 0 se xy 00 xy cos 1 x² y² se xy 00 Determine a função gx R² R e mostre que ela não é limitada na origem Será g uma função diferenciável 2 Considere fxy 0 se xy 00 xy²x³ y³ se xy 00 Seja u u1u2 um vetor unitário tal que u1 0 Mostre que fu 00 u2²u1² No entanto conclua que f não é diferenciável mostrando que f não é contínua na origem 3 Seja D R² um conjunto com a seguinte propriedade quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha poligonal Isto é há uma sucessão de segmentos de retas que conecta um ao outro ponto Se substituirmos a propriedade convexo por essa condição no corolário anterior o resultado continuará valendo 4 Sejam f e g duas funções definidas em todo o R² tais que para todo vetor unitário u e todo par xy vale fu xy gu xy Mostre que essas duas funções diferem por uma constante 5 Determine uma função f D R² R tal que para todo vetor unitário u e todo par xy D fu xy 0 com f não constante 6 Calcule a equação do plano tangente à superfície definida por xy 2xz yz x CEDERJ 269 Cálculo III Derivadas Parciais de Ordens Superiores no ponto 1 1 2 7 Calcule a equação do plano tangente à superfície definida por x² y² 2z² 2y 2xz 4 no ponto 1 1 1