Lista de Cálculo 2 funções de Valor Real de Duas ou Mais Variáveis

Questao 1 a fx y x2 y2 Domınio O domınio de uma funcao e o conjunto de todos os pares x y para os quais a funcao esta definida No caso da funcao fx y x2 y2 os termos x2 e y2 representam quadrados de numeros reais o que significa que eles sempre produzirao valores nao negativos para qualquer x e y reais A funcao em si envolve apenas a subtracao desses termos o que e uma operacao bem definida para todos os numeros reais Como nao existem raızes quadradas logaritmos ou divisoes que possam causar indefinicoes ou restricoes a funcao esta definida para todos os valores reais de x e y Portanto o domınio e todo o plano xy Df R2 x y x R y R Imagem A imagem da funcao fx y x2 y2 e o conjunto de valores que a funcao pode assumir Sabemos que x2 0 e y2 0 para todos os x y R A funcao pode assumir qualquer valor real porque para qualquer valor z R existe um par x y tal que fx y z Por exemplo Se x y 0 entao f0 0 0 Se x 1 e y 0 entao f1 0 1 Se x 0 e y 1 entao f0 1 1 Portanto a imagem da funcao e Imf R Curvas de Nıvel As curvas de nıvel correspondem aos conjuntos de pontos x y para os quais a funcao fx y assume um valor constante k Para a funcao fx y x2 y2 a equacao das curvas de nıvel e k x2 y2 Essa e a equacao de uma hiperbole Dependendo do valor de k a forma da curva de nıvel varia Para k 0 a curva e uma uniao das retas y x e y x Para k 0 a curva e uma hiperbole com eixos x e y Para k 0 a curva tambem e uma hiperbole mas com os eixos trocados 1 Assim a equacao do plano tangente a superfıcie no ponto 2 2 2 e z 9x 8y 8