Derivadas Direcionais Máximos e Mínimos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Campus São Carlos Disciplina Cálculo II Professora Jeferson Poveda Discente Matrícula Turma Semestre Lista 3 Derivadas direcionais Máximos e Mínimos 1 Uma função diferenciável fxy tem no ponto 11 derivada direcional igual a 3 na direção 3i 4j e igual a 1 na direção 4i 3j Calcule a f11 b Duf11 onde u é o vetor i j 2 Se fxy x12 yx14 y2 se xy 10 0 se xy 10 Calcule Duf10 onde u 12 12 3 A temperatura em um ponto xyz é dada por Txyz 200 ex2 3 y2 9 z2 onde T é medido em Cº e xyz em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P212 em direção ao ponto 333 b Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P 4 Determine os pontos da superfície x2 2y2 3z2 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 3x y 3z 1 5 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função fxy x3 y3 3xy 6 Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D onde fxy xy2 D xyx 0 y 0 x2 y2 3 1 a 0f4 1 Salemar que Buf Vf v D3 af 3 Bn 3f E Assim podemos montar osistema f81 55 9 3 88181 9 5 4 Seja fx 3fy 5 Resshends eltemes fx 1 Jy 3 0f8 2 1 3 1 Agra Desaf Vf1 1 1 1 E Bj 10 3 E Boaf 2 Biraf P It ⑪ ①Vamcalcula gl I Sim Pa 0 0 P 0 O P 10 90 R 02 R 0 Jy 10 0 lin Pg1 P3 Logo fx Jy 0 0fp 0 10 0 In fin B100f 10 03 E By 10 3 a Seja 13 3 3 2 P 2 e B 12 1 2 i 4 2 4 Daf 15B onde Vt Tx Ty 2 Tx 100 x e X 3y 922 e X 3y 922 y20y e x 3y 92 Para s ente 12 4 2 x By 92 3 I Arrim 15B 1 800 1200 7200 e 13 Portante Duf 1800 1200 7200 e 4 2 4 T Buf 1 1800 2000 7200 e 13 T 13 Buf 10400e T b A mais taxa derescimento é na direção do gradiente mac 1800 1200 7200 c Essa tora maxima será dada por 1 2 1 2 1 500 10200 1720012 e 03 1 2 2 21 7340e 13 4 Seja Fx y 2 x 2yz 322 Fx y z 2x 4y 62 Como queremos a retoe normal as plano 3x y 32 1 n 13 4 3 assim temos o2x by 2 1 3 2 3 2x 3x x 2 My x y 62 3 z 1 2 Assim substituindo na reverficie x 2y 32 1 2 E 3t 2 25 Portante es pentes de superfície que satisfazem R 5 Para encontran os pentos criticse 0fxy 0 3x 3y 3y 3x 2 E y y X x 0 1 xx 1 0 0xx 8 Sex 0 y 0 Sex 4 y P Portanto os pontos críticas são 10 0 e 14 1 e devemos analisar suas Hessianas 10 0 H 6x 3 H 0 3 90 pento de sela 1113 by 10 3 ⑧ H 63 27c0 e He 6x 610 pent de 3 6 máximo Assim 10 0 é ponto de sela 114 é pente de máximo bal 6 i Vamos analisar s gradiente fx y y 2 x y 0 0 sta x 0 representa pontos atis e Para que esteja dentro da regiãe x X 2 2 3 x 55 g Assim x 0 éento crítico 01x E ainda fx 0 0 ponto de mínimo i Analisando a fronteira y 5 sen o Substituind x y 3fun o uma oe se Assim temos ren o 0 0 0 cass ja analise un o limo 2x 0 0 de anteriamente X 01 0 E como estamos no 18ces of E S I quadrante Arrim analisando caso 5 reno F caso 0 I I 0 2 f 2 prate de marima Per fim O rapontesdeminim na registe