Gradiente e Aplicações: Reta Tangente e Normal ao Gráfico de uma Função

Assim para todo u v em R² gv u v 0 o que mostra que g não depende de v isto é g u v φ u para alguma função φ R R diferenciável Portanto f x y φ 2y x onde φ R R é uma função diferenciável Vejamos agora como utilizar o gradiente de uma função de duas variáveis na obtenção da reta tangente e da reta normal ao gráfico de uma função y g x de uma variável Para isto consideremos a função de duas variáveis F x y g x y evidentemente o gráfico de g coincide com a curva de nível F x y 0 Seja x₀ y₀ com y₀ g x₀ um ponto do gráfico de g Segue que F x₀ y₀ é normal ao gráfico de g em x₀ y₀ Como F x y g x 1 resulta F x₀ y₀ g x₀ 1 A equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa x₀ é então g x₀ 1 x y x₀ y₀ 0 ou g x₀ x x₀ y y₀ 0 ou ainda y y₀ g x₀ x x₀ Por outro lado a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto de abscissa x₀ é x y x₀ y₀ λ g x₀ 1 λ R Suponhamos agora que a função diferenciável y g x seja dada implicitamente pela equação F x y 0 onde F é suposta diferenciável e F x₀ y₀ 0 com y₀ g x₀ observe que a situação anterior é um caso particular desta Segue que para todo x no domínio de g F x g x 0 isto é a imagem da curva γx x g x está contida na curva