Trabalho de Cálculo 2

Universidade Federal de Sao CarlosDepartamento de Matematica 89206Calculo 2 Trabalho avaliativo Nome e RA Profa Alessandra Verri Respostas nao justificadas serao desconsideradas Exercıcio 1 No ponto 2 1 0 diga se a funcao ux y z xyz xz y2 cresce ou decresce na direcao s 3i4k 5 e com qual taxa Qual o mınimo da taxa de variacao de u nesse ponto Exercıcio 2 Sejam x e y dois pontos em Rn e f Rn R uma funcao de classe C1 Usando a regra da cadeia verifique que a derivada da funcao de uma variavel φt fx ty t R e dada por d dtφt fx ty y Dica considere uma componente por vez Exercıcio 3 O potencial eletrico numa placa e dado pela expressao V x y e2x cos2y i Encontre a direcao e a magnitude da maxima taxa de variacao do potencial no ponto 0 π4 ii Encontre a taxa de variacao do potencial ao longo da curva xt t2 yt t22 Exercıcio 4 Sem calcular derivadas direcionais encontre a maior taxa de variacao da funcao fx y z y 2x3 x 4y z2 sinxy no ponto 2 2 0 Exercıcio 5 Sejam fx y x2 sinxy e o ponto 1 0 Encontre as direcoes s em que a derivada direcional f s 1 0 valha 1 Exercício 6 Certa função diferenciável z fxy tem no ponto P 12 derivada direcional igual a 2 na direção de s i enquanto na direção de v i j sqrt2 essa derivada vale sqrt2 Faça os itens abaixo todos em relação ao ponto P e à função f 1 Em qual direção e sentido a função tem crescimento máximo 2 Em qual direção a taxa de variação é nula 3 Na direção do vetor w 3i 5j a função cresce ou decresce e com qual taxa Exercício 7 Um campo de forças Fxy no plano é dito conservativo se F V para alguma função suave Vxy chamada de potencial veja o Exemplo 226 da apostila Verifique que o campo de forças Fxy x2 y i x2 y3 j não é conservativo Dica use o Teorema de Schwarz Exercício 8 A temperatura numa placa é dada por uma função Txy diferenciável Partindose do ponto x0y0 em qual direção devese movimentar para que a temperatura praticamente não varie Justifique Exercício 9 Certa função diferenciável z fxy tem no ponto P 12 derivada direcional igual a 2 na direção de s i enquanto na direção de v ij sqrt2 essa derivada vale sqrt2 Faça os itens abaixo todos em relação ao ponto P e à função f 1 Em qual direção e sentido a função tem crescimento máximo 2 Em qual direção a taxa de variação é nula 3 Na direção do vetor w 3i 5j a função cresce ou decresce e com qual taxa Exercício 10 Verifique que a função fxy x2 y x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 é contínua constante nos eixos coordenados logo f00 0 Use a definição de derivada direcional para concluir que se s s1 i s2 j normalizado então fs 00 s12 s2 0 f00 s Conclua que f não é diferenciável na origem ① uxyz xyz xz y2 u ux1 uy1 uz yzz xz2y xyx P 210 uP u210 10 0 20 21 21 2 uP 024 Dsu uP s 024 35045 Dsu 0 0 445 165 0 uxyz cresce na direção s com taxa 165 uP uP uP 024 sqrt022242 02sqrt204sqrt20 01sqrt5 2sqrt5 v 01sqrt5 2sqrt5 Valor mínimo Dvu uP v 024 0 2sqrt5 2sqrt5 0 42 sqrt5 8sqrt5 10sqrt5 2 sqrt5 Dvu 2 sqrt5 ② ddtφt fū ddtū φt fū ddtū ddt x ddtt ȳ 0 ȳ ddtφt fū ȳ ddtφt fx t ȳ ȳ 3 Vxy e2x cos2y V Vx Vy 2e2x cos2y 2e2x sin 2y p 0 π4 Vp 2e0 cos π2 2e0 sinπ2 VP 20 2 1 0 2 v P VPVP 0 202 22 01 4 v Variação máxima DvV 0 2 0 1 2 b dfdt dfdx dxdt dfdy dydt dfdt 2e2x cos2y 12 2e2x sin2y t dfdt 2e2 t2 cos 2 t22 2e2t2 sin 2 t22 t dfdt 2et cos t2 t sin t2 5 f fx fy 2x y cos xy x cos xy f P f 10 2 01 21 s a b ŝ a ba2 b2 Dŝf1 21 aa2 b2 ba2 b2 1 2a ba2 b2 1 2a b a2 b2 2a b2 a2 b2 4a2 b2 4ab a2 b2 3a2 4ab b 3a4 ŝ a1 3a4a2 9a216 a1 3a45a4 ŝ 45 35 4 f fx1 f11 fz f 3y 2 x2 1 0 y z2 cos xy y 1 0 x3 x 4 1 z2 cos x y x 0 0 2z sin xy f 3x2 y 2 y z2 y cos x y x3 x 4 x z2 cos x y 2z sin xy fP f 2 2 0 0 2 0 8 2 4 0 0 2 2 0 Maior taxa de variação f P 22 22 02 2 2 6 f fx fy Dₛ f ṡ 2 f 1 2 1 0 2 a₁ b 1 0 2 a 2 D𝓰 f f 1 2 12 12 2 a₁ b 12 12 2 a2 b2 2 a b 2 b 2 a 2 2 b 4 f 1 2 a₁ b 2 4 6 1 crescimento máximo f 1 2 1 21² 2² 15 25 Direção e sentido são dados por 15 25 6 2 Du f f P û 0 2 4 x y 0 4y 2x 2x 4y 0 7 x 2 y û x y 2y y û y 2 1 6 3 Dₓ f f P ẇ 2 4 3 5 6 20 26 A função cresce Taxa 26 7 F V F x² y x² y³ Fₓ Fᵧ Vx Vy Fₓ x² y Vx V x² y dx yx³3 Cy Vy x³3 Cyy Fᵧ x² y³ Cyy x² y³ x³3 Cy x² y³ x³3 dy Cy x² y⁴4 x³ y3 Vx y yx³3 x² y⁴4 x³ y3 Vx y x² y⁴4 C De fato V F V x y⁴2 x² y³ f fx fy f00 fx00 fy00 s s1 s2 f00 s fx00 fy00 s1 s2 s12 fx00s1 fy00s2 s12 0 0 Como fx00 s1 e fy00 0 fx00 fy00 logo f não é diferenciável na origem 8 T Tx Ty Tx0y0 Txx0y0 Tyx0y0 Tx0y0 ab 0 derivada direcional Txx0y0a Tyx0y0b 0 a Tyx0y0b Txx0y0 v ab Tyx0y0b Txx0y0 b Vamos fazer b 1 a direção deve ser v Tyx0y0 Txx0y0 1 9 A questão 9 é idêntica a questão 6 1 uxyz xyz xz y2 u μx1 μy1 μz yz z xz 2y xy x P 210 uP u210 10 0 20 21 21 2 uP 0 2 4 Dsu uP s 024 35 0 45 Dsu 0 0 445 165 0 uxyz cresce na direção s com taxa 165 uP uP uP 02402 22 42 0 220 420 0 225 425 v 0 15 25 Valor mínimo Dvu uP v 024 0 225 25 0 425 85 105 25 Dvu 25 2 ddt φx fū ddt ū φt fū ddtū ddt x ddt tȳ 0 ȳ ddt φx fū ȳ ddt φx fx tȳ ȳ 3 Vxy e2x cos2y a V Vx Vy 2e2x cos2y 2e2x sin2y p 0 π4 Vp 2e⁰ cosπ2 2e⁰ sinπ2 Vp 20 21 0 2 Vp VpVp 0 20² 2² 0 1 ū Variação máxima DūV 0 2 0 1 2 b dfdt dfdx dxdt dfdy dydt dfdt 2e2x cos2y 12 2e2x sin2y t dfdt 2e2t2 cos2 t²2 2e2t2 sin2 t²2 t dfdt 2 et cost² t sint² 4 f fx₁ fy₁ fz f 3y2 x² 10 y z² cosxy y 10 x³ x 41 z² cosxy x 0 0 2z sinxy f 3x²y2 y z² y cosxy x³ x 4 x z² cosxy 2 z sinxy fp f2 2 0 0 2 0 8 2 4 0 0 2 2 0 Maior taxa de variação fp 2² 2² 0² 2 2 f fx1 fy 2x y cosxy x cosxy fP f10 2 0 1 2 1 s a b s a b a² b² Dsf1 2 1 a a² b² b a² b² 1 2a b a² b² 1 2a b a² b² 2a b² a² b² 4a² b² 4ab a² b² 3a² 4ab b 3a 4 s a 3a 4 a² 9a² 16 a 3a 4 5a 4 s 4 5 3 5 f f x f y Dsf s 2 f1 2 1 0 2 a b 1 0 2 a 2 Dsf f1 2 12 12 2 a b 12 12 2 a2 b2 2 a b 2 b 2 a 2 2 b 4 f1 2 a b 2 4 61 crescimento máximo f1 2 1 2 1² 2²² 1 5 2 5 Direção e sentido são dados por 1 5 2 5 62 Duf fP u 0 2 4 x y 0 2x 4y 0 4y 2x x 2y u x y 2y y u y2 1 63 Dwf fP w 2 4 3 5 6 20 26 A função cresce Taxa 26 F V F x²y x²y³ Fx Fy Vx Vy Fx x²y Vx V x²ydx yx³3 Cy Vy x³3 Cyy Fy x²y³ Cyy x²y³ x³3 Cy x²y³ x³3 dy Cy x²y⁴4 x³3 y Vxy yx³3 x²y⁴4 x³3 Vxy x²y⁴4 C De fato V F V xy⁴2 x²y³ T Tx Ty Tx0y0 Txx0y0 Tyx0y0 Tx0y0 ab 0 derivada direcional Txx0y0 a Tyx0y0 b 0 a Tyx0y0 b Txx0y0 v ab Tyx0y0 b Txx0y0 b Vamos fazer b 1 a direção deve ser v Tyx0y0 Txx0y0 1 f fx fy f00 fx00 fy00 s s11 s2 f00 s fx00 fy00 s11 s2 s1² fx00 s1 fy00 s2 s1² 0 0 Como fx00 s1 e fy00 0 fx00 fy00 logo f não é diferenciável na origem