Exercicios

Questão 3 Calcule a área da região delimitada pela reta 2y x 0 e pela curva γt t² t t³ t 0 1 Dica Prove que a área da região delimitada por uma curva γ é igual a γ y dx Resposta Verificar Questão 4 Calcule a integral de linha do campo 𝐹 x y yx²y²î xx²y²ĵ sobre a curva γt cos5t sen3t t 0 2π Dica Use o teorema de Green para regiões com furo Resposta Verificar Navegação do questionário 1 2 3 4 Finalizar tentativa Página anterior Finalizar tentativa Questão 1 Use o teorema de Green para calcular a integral de linha do campo vetorial 𝐹 x y 2x yî 3x yĵ sobre a poligonal fechada de vértices 10 01 10 e 01 orientada no sentido antihorário Resposta Verificar Questão 2 Use o teorema de Green para calcular a integral de linha do campo vetorial 𝐹 x y exy² 2yî 2yexy² 3xĵ sobre o arco de circunferência de extremos 10 e 10 contido no semiplano y 0 orientado no sentido de 10 e 10 Resposta Verificar Navegação do questionário 1 2 3 4 Finalizar tentativa Questão 2 Calcule a integral de linha de 𝐹 x y yx²y²î xx²y²ĵ sobre a circunferência de raio r 0 orientada no sentido horário Resposta Verificar Questão 3 Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial 𝐹 x y 6x⁵x²y³ eˣî 5y⁴x²y³ cosyĵ para deslocar uma partícula de 01 até 0 3π2 Resposta Verificar Finalizar tentativa Atividade anterior Próxima atividade Lista de exercícios 3 Seguir para Atividade avaliativa Teorema de Green F dr ₁³π₂ Fαt αt dt αt 0 1 Fαt 60505 t5 e0 5 t406 t5 cost 1 5t cost F dr ₁³π₂ 1 5t cost 0 1 dt ₁³π₂ 5t cost dt 5lnt₁³π₂ sint₁³π₂ 5ln3π2 ln1 sin3π2 sin1 5 ln3π2 1 sin1 5909 Green diz já que C está orientado positivamente F dr ⱼQx Py dA onde F P Q E no caso J x y ℝ² x1 y x1 se x 0 x1 y x1 se x 0 F 2x y 3x y Qx 3 Py 1 Qx Py 3 1 2 logo F dr 2 ⱼ dA 2Área de J J quadrado de lado 2 A 2² 2 F dr 22 4 Calcule a integral de linha de 𝐹x y yx² y² i xx² y² j sobre a circunferência de raio r 0 orientada no sentido horário Parametrização αt xt r cosθ 0 θ 2π yt r sinθ αt r sinθ r cosθ F dr ₀²π Fαt αt dt Fαt sinθr cosθr F dr ₀²π sinθr cosθr r sinθ r cosθ ₀²π sin²θ cos²θ dθ ₀²π 1 dθ 2π 6283 Seja C2 Green diz intC vecF dr intC2 vecF dr iintD leftfracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial yright dA negativo pois está orientado negativamente D xy in mathbbR2 mid x2 y2 leq 1 y 0 F P Q No caso P exy2 2y o fracpartial Ppartial y 2y exy2 2 Q 2yext2 3x o fracpartial Qpartial x 2y exy2 3 o fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y 2y exy2 3 left2y exy2 2right 1 intC vecF dr intC2 vecF dr iintD 1 dA extÁreaD fracpi2 12 intC2 vecF dr seja alphat t 0 t in 1 1 alphat 10 Falphat et 3t o intC2 vecF dr int11 et 3t cdot 10 dt int11 et dt et big11 frac1e e o intC vecF dr leftfrac1e eright fracpi2 approx 0779 Questão 3 Incompleto Vale 100 pontos Marcar questão Calcule a área da região delimitada pela reta 2y x 0 e pela curva gammat t2 t t3 t in 01 Dica Prove que a área da região delimitada por uma curva gamma é igual à ointgamma y i dgamma Resposta Verificar x 2y y t3 o t y13 x t2 t x y23 y13 Área int01 y23 y13 2y dy frac720 035 Questão 4 Incompleto Vale 100 pontos Marcar questão Calcule a integral de linha do campo vecFxy leftfracyx2 y2 veci fracxx2 y2 vecjright sobre a curva gammat cos5t sen3t t in 0 2pi Dica Use o teorema de Green para regiões com furo Resposta Verificar alphat epsilon sint epsilon cost 0 t 2π intsigma vecF d vecr intalpha vecF dr iintD leftfracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial yright dA vecF leftfracyx2 y2 fracxx2 y2right P Q fracpartial Qpartial x fracy x2x2 y22 fracpartial Ppartial y fracy x2x2 y22 int fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y 0 iintD leftfracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial yright dA 0 intalpha vecF dr int02 pi Falphat cdot alphat dt alphat epsilon cost epsilon sint Falphat leftfracepsilon costepsilon2 fracepsilon sintepsilon2right int02pi leftfraccostepsilon fracsintepsilonright cdot epsilon cost epsilon sint int02pi cos2t sin2t dt 2pi o intgamma vecF dvecr 2pi 2pi 6283