Exercicios

Calcule o integral duplo da função fxycospix piy2y 2x na região B 1 x y 2 x 0 y 0 Integral de fxy pix piy2y 2x sobre region B B 1 x y 2 x 0 y 0 x y 1 termos y 1x x y 2 termos y 2x ₀¹ ₁ₓ²ₓ cosπx πy2y 2x dy dx cosπx πy2y 2x cosπxy2yx ₀¹ ₁ₓ²ₓ cosπxy2yx dy dx Mudança de variáveis u x y e v x y fuv cosπv2u dx dy 12 du dv 1 x y 2 1 u 2 u x y v x y u v u u x y x y x y x y agora temos ₁² ᵤᵘ cosπv2u 12 dv du ᵤᵘ cosπv2u dv substituição t πv2u dtdv π2u dv 2uπ dt ᵤᵘ cosπv2u dv π2π2 2uπ cost dt 2uπ sentπ2π2 2uπ senπ2 senπ2 2uπ 11 2uπ 2 4uπ ᵤᵘ cosπv2u dv 4uπ 12 ₁² 4uπ du 42π ₁² u du 2π ₁² u du 2π u²21² 2π 2 12 2π 32 12 ₁² 4uπ du 3π Portanto B fxy dx dy π3 resposta π3 calcule integral duplo fxy sen2x² y² na região B 2x² y² 9 2x² y² 9 limiar equa de elipse no plano μ² v² 9 com u 2 x e v y mudança de variáveis du dν 12 dx dy B sen2x² y² dx dy B senu² v² 12 du dv coordenadas polares u r cosθ e v r senθ u² v² r² du dr r dr dθ 0 r 3 e 0 θ 2π B sen2x² y² dx dy 02π 03 senr² 12 r dr dθ 12 02π 03 senr² r dr dθ usando substituição r² w temos dw 2r dr 03 senr² r dr 12 09 senw dw 12 cosw09 12 cos9 1 02π dθ 2π 12 02π 03 senr² r dr dθ 12 2π 12 1 cos9 π 2 1 cos9 B sen2x² y² dx dy π 2 1 cos9 resposta π 2 1 cos9 calcule o volume do sólido S S xyz x² y² 2x 0 e 0 z x² y² x² y² 2x 0 x 1² y² 1 interior do circulo de centro 10 e de raio 1 Pois x² y² 2x x1² 1 y² 0 z x² y² r² x² y² coordenadas cilindricas x r cosθ y r senθ z z x 1² y² 1 em coordenada cilindricas sera r² 2r cosθ 1 1 r r 2 cosθ 0 r cos 2θ r r cos 2θ 0 r 2 cos θ limites de integração z vai de 0 até r θ vai de π2 até π2 r vai de 0 até 2 cosθ V π2π2 02cosθ 0r r dz dr dθ 0r r dz r0r dz rr0r rr r² V π2π2 02cosθ r² dr dθ π2π2 r³302cosθ dθ π2π2 2 cosθ³ 3 dθ π2π2 83 cos³θ dθ 83 π2π2 cos³θ dθ π2π2 cos³θ dθ 13 cosθ 2 senθ cos²θπ2π2 13 cosπ2 2 senπ2 cos²π2 cosπ2 2 senπ2 cos²π2 13 4 V 83 43 329 resposta 329