P1 - Cálculo 3 2021-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SAO CARLOS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primeira Prova Escrita de Calculo 3 (ENPE) Professores Responsaveis: Edivaldo L. Santos, Marcelo J. D. Nascimento, Bruna O. Okamoto Data: 13/04/2022 Atengao: Todas as questoes devem ser resolvidas com técnicas que vocé aprendeu neste curso de Calculo 3. Respostas sem justificativa nao serao consideradas. Questao 01: (3.0 pontos) Sejam f,g,h:IR > R funcoes de classe C1 e a, b nimeros reais diferentes de zero. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha | 5 + F@)| de + [2 + 9(y)] dy + [av + h(2)] dz, r onde I(t) = (acos(t), bsen(t), 1), com 0 <t < 2m. Questao 02: (1.5 pontos) Considere o campo vetorial em R? dado por F(z, y,z) = 2xyz*i+a?237 + 3x2yz7k. (a) Verifique se F’ é um campo conservativo. (b) Se F é conservativo, determine f tal que F = Vf. (c) Calcule a integral de linha J, F'. dF onde y é a curva dada por F(t) = sen®°(t)i + (1 —cos(t))j teh Dk, O<t< *. Questao 03: (2.5 pontos) Use o teorema de Green para calcular a area da regiao compacta limitada pelo grafico da fungao y = cos*(x), « € [—$, $] e pelo eixo Oz. Questao 04: (3.0 pontos) Seja F(a,y,z) = (4x3 + ysenz)i + (y? + zsenx)j + (32 + 1)k. Calcule || Fit dS, onde S é a superficie determinada por z = 4x? + y?, com z < 1. S Boa Prova!