Slide - Campos Vetoriais - Cálculo 3 2022-2

Cálculo 3 Larissa Oliveira larissa.oliveira@ufscar.br *Texto, imagens e exemplos retirados de STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016, v. 2. Hoje: Cap.16 Campos Vetoriais Em geral, um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos e (ou ) e cuja imagem é um conjunto de vetores em V2 (ou V3). Representação geométrica: A melhor maneira de enxergar um campo vetorial é desenhar a seta representando o vetor F (x, y) começando no ponto (x, y). É claro que é impossível fazer isso para todos os pontos (x, y), mas podemos visualizar F fazendo isso para alguns pontos representativos em D. Campos Vetoriais Uma vez que F (x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes P e Q da seguinte forma: F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j = P (x, y), Q (x, y) ou, de forma mais compacta, F = P i + Q j Observe que P e Q são funções escalares de duas variáveis e são chamadas, algumas vezes, campos escalares para distingui-los dos campos vetoriais. Campos Vetoriais Formalmente: Seja 𝐷 uma região no espaço bi/tridimensional e seja 𝑓 uma função escalar definida em 𝐷. Então, a cada ponto 𝑃 ∈ 𝐷, 𝑓 associa uma única grandeza escalar 𝑓(𝑃). A região 𝐷, juntamente com os correspondentes vetores 𝑓(𝑃) em cada um de seus pontos, é chamada campo escalar. Dizemos que 𝑓 define um campo escalar sobre 𝐷. Campos Escalares Representação geométrica: Um campo vetorial F em está ilustrado na figura. Podemos escrevê-lo em termos das funções componentes P, Q e R como: F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k F será contínua se e somente se suas funções componentes P, Q e R forem contínuas. Campos Vetoriais Campos Gradiente Se f é uma função escalar de duas variáveis, lembre-se de que seu gradiente f (ou grad f ) é definido por f (x, y) = fx (x, y) i + fy (x, y) j Portanto, f é realmente um campo vetorial em e é denominado campo vetorial gradiente. Da mesma forma, se f é uma função escalar de três variáveis, seu gradiente é um campo vetorial em dado por f (x, y, z) = fx (x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz (x, y, z) k Exemplo: O campo Ԧ𝐹 𝑥, 𝑦 = (2𝑥, 3𝑥𝑦) é um campo gradiente? Campos Gradiente Exemplo: O campo Ԧ𝐹 𝑥, 𝑦 = (2𝑥, 3𝑦) é um campo gradiente? Campos Gradiente Exemplo: O campo Ԧ𝐹 𝑥, 𝑦 = (2𝑥 + 𝑦, 3𝑦 + 𝑥) é um campo gradiente? Campos Gradiente Campo Conservativo Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se for o gradiente de uma função escalar, ou seja, se existir uma função f tal que F = f . Nessa situação, f é denominada função potencial de F. Nem todos os campos vetoriais são conservativos, mas estes campos aparecem frequentemente em física. Parametrização Reta: Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑎1 + 𝑡𝑏1 Ԧ𝑖 + 𝑎2 + 𝑡𝑏2 Ԧ𝑗 + (𝑎3 + 𝑡𝑏3)𝑘 = 𝐴 + 𝑡𝑏, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 𝑥 𝑡 = 𝑎1 + 𝑡𝑏1 𝑦 𝑡 = 𝑎2 + 𝑡𝑏2 𝑧 𝑡 = 𝑎3 + 𝑡𝑏3 Exemplo: Determinar uma representação paramétrica da reta que passa por 𝐴(2,0,1) e 𝐵(−1, 1 2 , 0). Parametrização Circunferência: Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑥0 + acos 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑦0 + a𝑠𝑒𝑛 𝑡 Ԧ𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + acos 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑦0 + a𝑠𝑒𝑛 𝑡 Elipse: Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑥0 + 𝐚cos 𝑡 Ԧ𝑖 + 𝑦0 + 𝐛𝑠𝑒𝑛 𝑡 Ԧ𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. Exemplo: Obter a equação paramétrica da circunferência x2 + y2 − 6x − 4y + 4 = 0 no plano z = 3. Parametrização Exemplo: Obter a equação paramétrica para y = 5x + 3 no plano z = 2. Exemplo: Obter a interseção das superfícies z = x2 + y2 e z = 2 + y. Obs: A orientação da curva parametrizada é o sentido em que o ponto (x,y) se move quando o parâmetro aumenta Integrais de Linha Uma integral que é semelhante à integral unidimensional, exceto que, ao invés de integrarmos sobre um intervalo [a, b], integraremos sobre uma curva C. Tais integrais são chamadas integrais de linha, embora “integrais de curva” seria melhor terminologia. Começamos com uma curva plana C dada pelas equações paramétricas x = x(t) y = y(t) a  t  b ou, o que é equivalente, pela equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j, e supomos que C seja uma curva suave. [Isso significa que r é contínua e r(t)  0.] Integrais de Linha Se dividirmos o intervalo do parâmetro [a, b] em n subintervalos [ti – 1, ti] de igual tamanho e se fizermos xi = x(ti) e yi = y(ti), então os pontos correspondentes Pi(xi, yi) dividem C em n sub-arcos de comprimentos s1, s2, . . . , sn. Integrais de Linha Escolhemos um ponto qualquer , no i-ésimo sub-arco. (Isso corresponde a um ponto em [ti – 1, ti].) Agora, se f for uma função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva C, calculamos f no ponto , multiplicamos pelo comprimento si do sub-arco e somamos que é semelhante à soma de Riemann. Integrais de Linha Em seguida, tomamos o limite dessa soma e fazemos a seguinte definição, por analogia com a integral unidimensional: O comprimento de curva é dado por Integrais de Linha Se f é uma função contínua, então o limite na Definição 2 sempre existe e a fórmula seguinte pode ser empregada para calcular a integral de linha: O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, desde que a curva seja percorrida uma única vez quando t cresce de a para b. No caso especial em que C é um segmento de reta unindo (a, 0) e (b, 0), usando x como parâmetro, escrevemos as equações paramétricas de C da seguinte forma: x = x, y = 0, a  x  b. A Fórmula 3 fica e, nesse caso, a integral de linha se reduz a uma integral unidimensional. Integrais de Linha Exemplo: Calcule C (2 + x2y) ds, onde C é a metade superior do círculo unitário x2 + y2 = 1. Integrais de Linha Integrais de Linha no Espaço Suponhamos agora que C seja uma curva espacial suave dada pelas equações paramétricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) a  t  b ou por uma equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C, então definimos a integral de linha de f ao longo de C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito nas curvas planas: Integrais de Linha no Espaço Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga à Equação 3: Observe que as integrais das Equações 3 e 9 podem ser escritas de modo mais compacto pela notação vetorial Para o caso especial em que f (x, y, z) = 1, obtemos onde L é o comprimento da curva C. Integrais de Linha no Espaço Exemplo: Calcule C y sen z ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações x = cos t, y = sen t, z = t, 0  t  2. Exercício: Calcule ׬𝐶 (𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑠, onde C é a semicircunferência dada por: Integrais de Linha de Campos Vetoriais