Lista 6 - Cálculo 3 - 2023-1

Universidade Federal de Sao Carlos-Departamento de Matematica 89303-Calculo 3: Lista 6 Prof(a): Alessandra Verri Exercicio 1. Calcule a integral de linha em que C' é a curva dada. (a) [ yds, C:2=t?,y=t,0<t<2 Cc (b) | xy*ds, C éa metade direita do circulo x? + y? = 16 Cc (c) | (a?y? — /x)dy, C é0 arco da curva y = x de (1,1) a (4,2) Cc (d) | xydx + (a —y)dy, C consiste dos segmentos de reta de (0,0) a (2,0) e de (2,0) a (3, 2) Cc (e) | ry’ds, C:a2=4sent,y =4cost,z =3t,0<t< 7/2 Cc (f) | xe’*ds, C é0 segmento de reta de (—1,5,0) a (1, 2,3) Cc (g) [ eyJzdz, C:2#=Py=t2=P,0<t<1 Cc (h) [oe + yz)dx + 2ady + xyxdz, C consiste nos segmentos de reta de (0,0,0) a (1,2,—1) e de Cc (1, 2, —1) a (3, 2, 0) (i) [e +y)ds, C éa fronteira do triadngulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1) Cc (j) / y'ds, C:2=t—sent,y=1-—cost,0<t< 27 Cc (k) | (x+y)ds, C éacurva obtida como intersegéo do semiplano x = y, y > 0, com o paraboldide Cc zaarty,z <2. Exercicio 2. Calcule a integral de linha Jo F-dr em que C é a curva dada pela fungao vetorial r(t). (a) F(x,y) = xyit3y?j, r(t)=11t*4i+P?§j,0<t<1 (b) F(z, y,z) =sinvi+cosyjt+azk, r(t)=Pi-’?j+tk (c) F(a,y, 2) = (x? — y?, 227 — 27, y? — 2), C éa curva intersecao da esfera x? + y? + 27 = 4 com o plano y = 1, percorrida no sentido anti-horario quando vista da origem (d) F(a, y, z) = (vy, a7 +2,y?—2), C éacurva obtida como intersecao do cone x? +y? = z?, z > 0, com 0 cilindro x = y? de (0,0,0) a (1,1, V2) Exerc´ıcio 3. Determine o trabalho realizado pelo campo de for¸ca F(x, y) = x i + (y + 2) j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r(t) = (t − sen t)i + (1 − cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2π. Exerc´ıcio 4. Determine o trabalho realizado pelo campo de for¸ca F(x, y) = (y+z) i+(x+z) j+(x+y) k sobre uma part´ıcula que se move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) a (3, 4, 2). Exerc´ıcio 5. (a) Mostre que um campo de for¸ca constante realiza trabalho nulo sobre uma part´ıcula que d´a uma ´unica volta completa uniformemente na circunferˆencia x2 + y2 = 1. (b) Isso tamb´em ´e verdadeiro para um campo de for¸ca F(x, y) = k(x, y) em que k ´e uma constamte? Respostas: 1. (a) (1/54)(1453/2−1) (b) 1638, 4 (c) 243/8 (d) 17/3 (e) 320 (f) (1/12) √ 14(e6−1) (g) 1/5 (h) 97/3 (i) 1 + √ 2 (j) 256/15 (k) 13 √ 2/6 2. (a) 45 (b) 6/5 − cos 1 − sen 1 (c) 0 (d) (4 + 10 √ 2)/15 3. 2π2 4. 26