Funcao de Duas Variaveis e Curva - Calculo e Exemplos

função de duas variáveis com uma curva vejamos o seguinte exemplo EXEMPLO 1 Sejam fx y xye yt r³ r² Considere a composta F t f γ t a Calcule F t b Calcule F t e verifique que F t f γ t γ t Solução a F t f γ t f r³ r² r⁵ Observe que F fornece os valores que fx y assume nos pontos da curva γ t r³ r² b f x y fx fy y x segue que f r³ r² r² r³ Por outro lado γ r 3r² 2r Assim f γ t γ r r² r³ 3r² 2r 3r⁴ 2r⁴ ou seja f γ t γ r 5 r⁴ F r Teorema Sejam f A R² R A aberto e γ I R² tais que γ r A para todo r no intervalo I Nestas condições se γ for diferenciável em t₀ e f em X₀ γt₀ então a composta F r f γ r será diferenciável em t₀ e vale a regra da cadeia F t₀ f γ t₀ γ t₀ Demonstração Pelo lema para todo X A ① f X f X₀ f X₀ X X₀ φ X X X₀ onde lim X X₀ φ X 0 φ X₀