Otimizacao de Formas Quadraticas e Multiplicadores de Lagrange

sejam estritamente positivos Prove que Qx y 0 para todo x y 00 Sugestão Utilize o Exercício 26 28 Prove que os multiplicadores de Lagrange associados ao problema do exercício anterior são as raízes da equação a λ b 0 b c λ 29 Sejam Qx y e g x y como no Exercício 26 Sejam λ1 e λ2 λ1 λ2 as raízes da equação a λ b 0 b c λ Prove que λ1 e λ2 são respectivamente os valores mínimo e máximo de Q sobre a circunfe rência x² y² 1 166 EXEMPLOS COMPLEMENTARES EXEMPLO 1 Seja fx y de classe C2 num aberto A do R² Suponha que x0 y0 A e seja um ponto crítico de f Prove que uma condição necessária para x0 y0 ser um ponto de mínimo local de f é que ²f ²f ²f x0 y0 h² 2 x0 y0 hk x0 y0 k² 0 x² x y y² para todo h k Solução Seja v h k 0 0 e consideremos a função gv t fx0 ht y0 kt Suponhamos que x0 y0 seja ponto de mínimo local de f então t 0 será ponto de mínimo local de gv e portanto deveremos ter necessariamente gv 0 0 Como gv 0 ²f ²f ²f x² x0 y0 h² 2 x0 y0 hk x0 y0 k² 334 Um Curso de Cálculo Vol 2 verifique resulta que ²f ²f ²f x0 y0 h² 2 x0 y0 hk x0 y0 k² 0 x² x y y² para todo h k é uma condição necessária para x0 y0 ser ponto de mínimo local de f Observação Note que gv fornece os valores que f assume sobre o trecho da reta x y x0 y0 t h k contido em Df EXEMPLO 2 Considere a forma quadrática