P1 - 2023-2

1a. Avaliação de Cálculo 2. 27-11-2023 1. Considere a função vetorial σ : [0, 2π] → R^2, dada por σ(t) = (e^tcos(t), e^tsen(t)). (a) Calcule ∥σ(t)∥ e σ'(t), ∀t ∈ [0, 2π]. Determine os "instantes" t ∈ [0, 2π] tais que a reta tangente à trajetória de σ, no ponto σ(t), seja: (i) paralela ao eixo Oy; (ii) paralela ao eixo Ox; (iii) paralela à reta y = x; (iv) paralela à reta y = -x. (b) Faça um esboço da trajetória de σ (no plano Oxy). Explique seu esboço. 2. Em cada um dos itens a seguir, determine o conjunto dos pontos de continuidade da função f. Justifique sua resposta. (a) f(x, y) = {x^2/sqrt(x^2+y^2), (x, y) ≠ (0,0), 0, (x, y) = (0,0)} (b) f(x, y) = {xy/(x^2+y^2), (x, y) ≠ (0,0), 0, (x, y) = (0,0)} 3. Teorema: Se lim_(x,y)→(x0,y0) h(x, y) = a e lim_{t→a} g(t) = L, com Im(h) ⊂ Dg, então, lim_(x,y)→(x0,y0) g(h(x, y)) = lim_{t→a} g(t) = L. Assumindo o teorema acima, mostre que lim_(x,y)→(0,0) sen(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) = 1 4. Considere a função f : R^2 → R dada por f(x, y) = {5 - x^2 - y^2, ||(x, y)|| ≤ 3, -4, ||(x, y)|| > 3 (a) Obtenha curvas de nível c de f considerando: c = -4, -4 < c ≤ 5 e c = 5. Verifique que Im(f) = [-4, 5]. Estude as interseções de Gr(f) com os planos x = 0 e y = 0. Faça um esboço de Gr(f). (b) Considere a curva C = Gr(f)∩(plano z = 1). Dê exemplo de uma função γ : R → R^3 tal que Im(γ) = C. Questão 1 a) σ(t) = (e^t cos t, e^t sen t). ∥σ(t)∥^2 = (e^t cos t)^2 + (e^t sen t)^2 = e^2t => ∥σ(t)∥ = e^t σ'(t) = (e^t(cos t - sen t), e^t(sen t + cos t)). 2) Vetor do eixo Oy: (0,1). = ŷ σ'(t) = λ. ŷ => (e^t(cos t - sen t), e^t(cos t + sen t)) = λ(0,1) => {e^t(cos t - sen t) = 0 => cos t = sen t => tg t = 1 => t = π/4 ou t = 5π/4 3) Vetor do eixo Ox: ŷ = (1,0) σ'(t) = λ ŷ => {e^t(cos t - sen t) = λ e^t(cos t + sen t) = 0 => tg t = -1 => t = 3π/4 ou t = 7π/4 III) ŷ = x: (1,1) {e^t(cos t - sen t) = λ e^t(cos t + sen t) = λ => e^t(cos t - sen t) = e^t(cos t + sen t) e^t sen t = 0 => sen t = 0 => t = 0, t = π, t = 2π IV) ŷ = - x: (1,-1) {e^t(cos t - sen t) = λ e^t(cos t + sen t) = - λ => e^t cos t = 0 => cos t = 0 => t = π/2 ou t = 3π/2 b) b) lim (x,y)->(0,0) = lim (x,y)->(0,0) xy / x^2 + y^2 - x = y: lim x->0 x^2 / 2x^2 = lim x->0 1/2 = 1/2 - x = 0: lim y->0 0 / y^2 = 0 => O LIMITE NAO EXISTE, A FUNÇAO E CONTINUA EM R^2 - {0,0} QUESTAO 3 x^2 + y^2 != 0: lim (x,y)->(0,0) SEN(x^2,y^1) / x^2 + y^2 = lim t->0 SENt / t = 1 QUESTAO 4 a) 1/c : -4 5 - x^2 - y^2 = -4 => x^2 + y^2 = 9 => ||(x,y)|| = 3. -4 < c < 5: 5 - x^2 - y^2 = c => x^2 + y^2 = 5 - c R = √5 - c c = 5: 5 - x^2 - y^2 = 5 => x^2 + y^2 = 0 => x = y = 0. f(x,y) = 5 - x^2 - y^2 > 5 => x^2 + y^2 < 0 -> IMPOSSIVEL. f(x,y) = 5 - x^2 - y^2 < -4 = |> x^2 + y^2 > 9 => ||(x,y)|| > 3 -> A CONDIÇAO NAO E SATISFEITA. => Im(f) = [-4,5] y=0: ANALOGO AO CASO x=0. b) z=1: 5 - x^2 - y^2 = 1 => x^2 + y^2 = 4 δ(t) = (2SENt, 2COSt, 1).