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Note que neste exemplo ²fxy xy ²fyx xy para todo xy R² EXEMPLO 2 Seja f xy xy³x²y² se xy 00 0 se xy 00 Mostre que a ²fxy 00 0 b ²fyx 00 1 Soluçao a Devemos primeiro determinar fy Para xy 00 temos fy xy 3xy² x²y² 2xy⁴ x² y²² xy⁴ 3x³y²x² y²² Em 00 temos fy 00 lim y0 f0y f00y 0 Assim fy xy xy⁴ 3x³y²x² y²² se xy 00 0 se xy 00 Temos agora ²fxy 00 lim x0 fy x0 fy 00 x0 0 ou seja ²fxy 00 0 b fx xy y³x² y² 2x²y³x² y²² se xy 00 0 se xy 00 verifique ²fyx 00 lim y0 fx 0y fx 00 y0 1 ou seja ²fyx 00 1 O exemplo anterior mostranos que a igualdade ²fxy xy ²fyx xy nem sempre se verifica O próximo teorema cuja demonstração é deixada para exercício veja
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Note que neste exemplo ²fxy xy ²fyx xy para todo xy R² EXEMPLO 2 Seja f xy xy³x²y² se xy 00 0 se xy 00 Mostre que a ²fxy 00 0 b ²fyx 00 1 Soluçao a Devemos primeiro determinar fy Para xy 00 temos fy xy 3xy² x²y² 2xy⁴ x² y²² xy⁴ 3x³y²x² y²² Em 00 temos fy 00 lim y0 f0y f00y 0 Assim fy xy xy⁴ 3x³y²x² y²² se xy 00 0 se xy 00 Temos agora ²fxy 00 lim x0 fy x0 fy 00 x0 0 ou seja ²fxy 00 0 b fx xy y³x² y² 2x²y³x² y²² se xy 00 0 se xy 00 verifique ²fyx 00 lim y0 fx 0y fx 00 y0 1 ou seja ²fyx 00 1 O exemplo anterior mostranos que a igualdade ²fxy xy ²fyx xy nem sempre se verifica O próximo teorema cuja demonstração é deixada para exercício veja