Lista de Física 3

3 Na Fig 3034 uma bobina de 120 espiras com 18 cm de raio e uma resistência de 53 Ω é coaxial com um solenoide de 220 espirascm e 32 cm de diâmetro A corrente no solenoide diminui de 15 A para zero em um intervalo de tempo Δt 25 ms Qual é a corrente induzida na bobina no intervalo Δt 11 Uma bobina retangular de comprimento a e largura b com N espiras gira com frequência f na presença de um campo magnético uniforme B como mostra a Fig 3040 A bobina está ligada a cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo a Mostre que a força eletromotriz induzida na bobina é dada em função do tempo t pela equação ε 2πfNabB sen2πft ε0 sen2πft Esse é o princípio de funcionamento dos geradores comerciais de corrente alternada b Para qual valor de Nab a força eletromotriz gerada tem uma amplitude ε0 150 V quando a bobina gira com uma frequência de 600 revoluções por segundo em um campo magnético uniforme de 0500 T 23 A Fig 3047 mostra duas espiras paralelas com um eixo comum A espira menor de raio r está acima da espira maior de raio R a uma distância x R Em consequência o campo magnético produzido por uma corrente i que atravessa a espira maior no sentido antihorário é praticamente uniforme na região limitada pela espira menor A distância x está aumentando a uma taxa constante dxdt v a Escreva uma expressão para o fluxo magnético através da bobina menor em função de x Sugestão Veja a Eq 2927 b Escreva uma expressão para a força eletromotriz induzida na espira menor c Determine o sentido da corrente induzida na espira menor 34 Na Fig 3055 uma espira retangular muito longa de largura L resistência R e massa m está inicialmente suspensa na presença de um campo magnético horizontal uniforme que aponta para dentro do papel e existe apenas acima da reta aa É deixada cair a espira que acelera sob a ação da gravidade até atingir uma velocidade terminal vt Escreva uma expressão para vt ignorando a resistência do ar 38 Uma região circular no plano xy é atravessada por um campo magnético uniforme que aponta no sentido positivo do eixo z O módulo B do campo em teslas aumenta com o tempo t em segundos de acordo com a equação B at em que a é uma constante A Fig 3057 mostra o módulo E do campo elétrico criado por esse aumento do campo magnético em função da distância radial r a escala do eixo vertical é definida por Es 300 μNC e a escala do eixo horizontal é definida por rs 400 cm Determine o valor de a 40 A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras é 80 mH Calcule o fluxo magnético através da bobina quando a corrente é 50 mA 45 Em um dado instante a corrente e a força eletromotriz autoinduzida em um indutor têm o sentido indicado na Fig 3059 a A corrente está aumentando ou diminuindo b A força eletromotriz induzida é 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kAs determine a indutância 57 Na Fig 3065 R 15 Ω L 50 H a força eletromotriz da fonte ideal é 10 V e o fusível do ramo superior é um fusível ideal de 30 A A resistência do fusível é zero enquanto a corrente que o atravessa permanece abaixo de 30 A Quando a corrente atinge o valor de 30 A o fusível queima e passa a apresentar uma resistência infinita A chave S é fechada no instante t 0 a Em que instante o fusível queima Sugestão A Eq 3041 não se aplica use uma adaptação da Eq 3039 b Faça um gráfico da corrente i no indutor em função do tempo e assinale o instante em que o fusível queima 59 Na Fig 3066 depois que a chave S é fechada no instante t 0 a força eletromotriz da fonte é ajustada automaticamente para manter uma corrente constante i passando pela chave a Determine a corrente no indutor em função do tempo b Em que instante a corrente no resistor é igual à corrente no indutor 63 No instante t 0 uma bateria é ligada em série a um resistor e um indutor Se a constante de tempo indutiva é 370 ms em que instante a taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é igual à taxa com a qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor 64 No instante t 0 uma bateria é ligada em série com um resistor e um indutor Para qual múltiplo da constante de tempo indutiva a energia armazenada no campo magnético do indutor é 0500 vez o valor final 71 Um fio de cobre conduz uma corrente de 10 A uniformemente distribuída em sua seção reta Calcule a densidade de energia a do campo magnético e b do campo elétrico na superfície do fio O diâmetro do fio é 25 mm e a resistência é 33 Ωkm 75 Uma bobina retangular com N espiras compactas é colocada nas proximidades de um fio retilíneo longo como mostra a Fig 3068 Qual é a indutância mútu a M da combinação fiobobina para N 100 a 10 cm b 80 cm e l 30 cm 76 Uma bobina C de N espiras envolve um solenoide longo S de raio R e n espiras por unidade de comprimento como na Fig 3069 a Mostre que a indutância mútua da combinação bobinasolenoide é dada por M μ0 π R² n N b Explique por que M não depende da forma do tamanho ou da possível falta de compactação da bobina MeuGuru Matheus 1 Na Fig 3034 uma bobina de 120 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠 com 18 𝑐𝑚 de raio e uma resistência de 53 𝛺 é coaxial com um solenoide de 220 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠𝑐𝑚 e 32 𝑐𝑚 de diâmetro A corrente no solenoide diminui de 15 𝐴 para zero em um intervalo de tempo 𝛥𝑡 25 𝑚𝑠 Qual é a corrente induzida na bobina no intervalo 𝛥𝑡 Resolução De acordo com a lei de Faraday a força eletromotriz induzida é 𝜀 𝑁 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 Já o fluxo magnético é dado por Φ𝐵 𝐴𝜇0𝑛𝑖 Onde 𝐴 é a área da espira 𝑛 o número de espiras por metro do solenoide e 𝑖 a corrente Então como é apenas a corrente que varia conforme o tempo 𝜀 𝑁𝐴𝜇0𝑛 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Já a área da espira é dada por 𝜋𝑟2 Aplicando os valores na fórmula 𝜀 1204𝜋 107 𝑇 𝑚𝐴22000𝑚𝜋0016 𝑚2 15 𝐴 0025 𝑠 𝜀 016 𝑉 Portanto pela lei de ohm a corrente induzida é 𝑖 𝜀 𝑅 016 𝑉 53 Ω 003 𝐴 8 Um campo magnético uniforme 𝐵 é perpendicular ao plano de uma espira circular com 10 𝑐𝑚 de diâmetro formada por um fio com 25 𝑚𝑚 de diâmetro e uma resistividade de 169 108 𝛺 𝑚 Qual deve ser a taxa de variação de 𝐵 para que uma corrente de 10 𝐴 seja induzida na espira Resolução Nós podemos calcular a resistência da espira pela seguinte fórmula 𝑅 𝜌 𝐿 𝐴 169108 Ω 𝑚 𝜋01 𝑚 𝜋25103 𝑚2 4 11103 Ω Portanto pela lei de Ohm sabemos que a corrente é 𝑖 𝜀 𝑅 Enquanto que a tensão induzida é 𝜀 𝑑Φ𝐵𝑑𝑡 já o fluxo magnético nesse caso pode ser definido pela área da espira vezes o campo magnético Φ𝐵 𝜋𝑟2𝐵 Substituindo os valores na fórmula da corrente 𝑖 𝜋𝑟2 𝑅 𝑑𝐵 𝑑𝑡 Isolando o 𝑑𝐵𝑑𝑡 que é justamente a taxa de variação do campo magnético 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝑖𝑅 𝜋𝑟2 10 𝐴11103 Ω 𝜋005 𝑚2 14 𝑇𝑠 10 A Fig 3039 mostra uma espira formada por um par de semicircunferências de 37 𝑐𝑚 de raio situadas em planos mutuamente perpendiculares A espira foi formada dobrando uma espira plana ao longo de um diâmetro até que as duas partes ficassem perpendiculares Um campo magnético uniforme 𝐵 de módulo 76 𝑚𝑇 é aplicado perpendicularmente ao diâmetro da dobra fazendo ângulos iguais de 45𝑜 com os planos das semicircunferências O campo magnético é reduzido para zero a uma taxa uniforme durante um intervalo de tempo de 45 𝑚𝑠 Determine a o valor absoluto e b o sentido horário ou antihorário do ponto de vista do sentido de 𝐵 da força eletromotriz induzida na espira durante esse intervalo Resolução a Nós temos duas semicircunferências que fazem o ângulo de 45𝑜 com os planos das semicircunferências Então o fluxo magnético pode ser descrito por Φ𝐵 2𝐵 𝜋𝑟2 2 cos 45𝑜 𝜋𝑟2𝐵 2 Portanto podemos calcular a força eletromotriz induzida da seguinte forma 𝜀 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 𝜋𝑟2 2 𝑑𝐵 𝑑𝑡 Substituindo os valores dados pelo enunciado 𝜀 𝜋37102 𝑚2 2 76103 𝑇 45103 𝑠 𝜀 51102 𝑉 b O sentido da fem induzida é o sentido horário do ponto de vista do sentido de incidência de 𝐵 11 Uma bobina retangular de comprimento a e largura b com N espiras gira com frequência f na presença de um campo magnético uniforme 𝐵 como mostra a Fig 3040 A bobina está ligada a cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo a Mostre que a força eletromotriz induzida na bobina é dada em função do tempo t pela equação 𝜀 2𝜋𝑓𝑁𝑎𝑏𝐵 sin2𝜋𝑓𝑡 𝜀0 sin2𝜋𝑓𝑡 Esse é o princípio de funcionamento dos geradores comerciais de corrente alternada b Para qual valor de Nab a força eletromotriz gerada tem uma amplitude 𝜀 150 𝑉 quando a bobina gira com uma frequência de 600 revoluções por segundo em um campo magnético uniforme de 0500 𝑇 Resolução a Como a bobina está girando com velocidade angular constante 𝜃 aumenta linearmente com o tempo Então 𝜃 2𝜋𝑓𝑡 em que 𝜃 é o ângulo em radianos e 2𝜋𝑓 𝜔 que é a velocidade angular Sabemos também que a área da bobina retangular é 𝐴 𝑎𝑏 logo pela lei de Faraday 𝜀 𝑁 𝑑𝐵𝐴 cos 𝜃 𝑑𝑡 𝑁𝐵𝐴 𝑑cos2𝜋𝑓 𝑑𝑡 Derivando encontramos 𝜀 2𝜋𝑓𝑁𝑎𝑏𝐵 sin2𝜋𝑓𝑡 O enunciado também deixa na forma 𝜀0 sin2𝜋𝑓𝑡 para evidenciar que é uma fem induzida senoidal e que 2𝜋𝑓𝑁𝑎𝑏𝐵 é a amplitude da tensão b Nós temos que 𝜀0 150 𝑉 2𝜋𝑓𝑁𝑎𝑏𝐵 Isolando 𝑁𝑎𝑏 𝑁𝑎𝑏 150 𝑉 2𝜋𝑓𝐵 Substituindo os valores do enunciado 𝑁𝑎𝑏 150 𝑉 2𝜋60 𝑠105 𝑇 0796 𝑚2 15 Uma espira quadrada com 200 𝑚 de lado é mantida perpendicular a um campo magnético uniforme com metade da área da espira na região em que existe campo como mostra a Fig 3043 A espira inclui uma fonte ideal de força eletromotriz 𝜀 200 𝑉 Se o módulo do campo varia com o tempo de acordo com a equação 𝐵 00420 0870𝑡 com B em teslas e t em segundos determine a a força eletromotriz total aplicada à espira e b o sentido da corrente total que circula na espira Resolução a Considerando que 𝐿 q o comprimento do lado da espira então o fluxo magnético é Φ𝐵 𝐿2𝐵 2 Portanto a força eletromotriz é 𝜀𝑖𝑛𝑑 𝐿2 2 𝑑𝐵 𝑑𝑡 Substituindo os valores do enunciado 𝜀𝑖𝑛𝑑 2 𝑚2 2 𝑑0042 087𝑡 𝑑𝑡 Derivando 𝜀𝑖𝑛𝑑 2 𝑚2 2 087 𝑇𝑠 174 𝑉 Já que o campo magnético aponta para fora da tela e está diminuindo a fem induzida tem a mesma polaridade da fonte logo a tensão total é 𝜀 20 𝑉 174 𝑉 2174 𝑉 b O sentido da corrente é o sentido antihorário 23 A Fig 3047 mostra duas espiras paralelas com um eixo comum A espira menor de raio r está acima da espira maior de raio R a uma distância 𝑥 𝑅 Em consequência o campo magnético produzido por uma corrente i que atravessa a espira maior no sentido antihorário é praticamente uniforme na região limitada pela espira menor A distância x está aumentando a uma taxa constante 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑣 a Escreva uma expressão para o fluxo magnético através da bobina menor em função de x Sugestão Veja a Eq 2927 b Escreva uma expressão para a força eletromotriz induzida na espira menor c Determine o sentido da corrente induzida na espira menor Resolução a Nós sabemos que se o campo magnético é uniforme e perpendicular a superfície então Φ𝐵 𝐵𝐴 Na região limitada pela espira menor o campo magnético produzido pela espira maior pode ser considerado constante e igual ao seu valor no centro da espira menor Já o campo magnético em uma bobina percorrida por uma corrente é em um ponto muito distante 𝑥 𝑅 𝐵 𝜇0𝑖𝑅2 2𝑥3 𝑖 Em que o sentido de 𝑥 é para cima da figura Já a área da espira menor é 𝐴 𝜋𝑟2 Portanto o fluxo magnético da espira menor é Φ𝐵 𝜋𝑟2𝜇0𝑖𝑅2 2𝑥3 b Já a força eletromotriz pela lei de Faraday é 𝜀 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 𝜋𝑟2𝜇0𝑖𝑅2 2 𝑑 𝑑𝑡 1 𝑥3 Derivando implicitamente 𝜀 𝜋𝑟2𝜇0𝑖𝑅2 2 3 𝑥4 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Sabemos também que a variação da posição no tempo é a velocidade então 𝜀 3𝜋𝑟2𝜇0𝑖𝑅2𝑣 2 c Quando a espira menor se move para cima o fluxo que atravessa a espira diminui De acordo com a lei de Lenz o sentido da corrente induzida é tal que produz um campo magnético que aponta para cima ou seja tende a reforçar o campo produzido pela espira maior Isso significa que o sentido da corrente induzida é o sentido antihorário para um observador situado acima da espira 26 No sistema da Fig 3049 𝑎 120 𝑐𝑚 e 𝑏 160 𝑐𝑚 A corrente no fio retilíneo longo é dada por 𝑖 450𝑡2 100𝑡 em que i está em ampères e t está em segundos a Determine a força eletromotriz na espira quadrada no instante 𝑡 300 𝑠 b Qual é o sentido da corrente induzida na espira Resolução a Como a altura da parte da espira acima do fio é 𝑏 𝑎 o fluxo em uma parte da espira abaixo do fio de altura 𝑏 𝑎 tem o mesmo valor absoluto e o sinal oposto ao fluxo cima do fio e os dois fluxos se cancelam Logo o fluxo através da espira é Φ𝐵 𝐵 𝑑𝐴 𝜇0𝑖 2𝜋𝑟 𝑏𝑑𝑟 𝑎 𝑏𝑎 Integrando em relação a 𝑟 e aplicando os limites Φ𝐵 𝜇0𝑖𝑏 2𝜋 ln 𝑎 𝑏 𝑎 Sendo assim pela lei de Faraday 𝜀 𝑑 𝑑𝑡 𝜇0𝑖𝑏 2𝜋 ln 𝑎 𝑏 𝑎 𝜇0𝑏 2𝜋 ln 𝑎 𝑏 𝑎 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Aplicando a função da corrente que o enunciado nos deu 𝜀 𝜇0𝑏 2𝜋 ln 𝑎 𝑏 𝑎 𝑑45𝑡2 10𝑡 𝑑𝑡 Derivando 𝜀 𝜇0𝑏9𝑡 10 2𝜋 ln 𝑎 𝑏 𝑎 Então para os valores que o enunciado nos deu 𝜀 4𝜋 107 𝑇 𝑚𝐴016 𝑚93 𝑠 10 2𝜋 ln 012 𝑚 016 𝑚 012 𝑚 𝜀 06 𝜇𝑉 b 𝑑𝑖𝑑𝑡 0 no instante 𝑡 3 𝑠 assim de acordo com a lei de Lenz a fem induzida produz uma corrente no sentido antihorário 28 Na Fig 3051 uma espira retangular de comprimento 𝑎 22 𝑐𝑚 largura 𝑏 080 𝑐𝑚 e resistência 𝑅 040 𝑚𝛺 é colocada nas vizinhanças de um fio infinitamente longo percorrido por uma corrente 𝑖 47 𝐴 Em seguida a espira é afastada do fio com uma velocidade constante 𝑣 32 𝑚𝑚𝑠 Quando o centro da espira está a uma distância 𝑟 15𝑏 do fio determine a o valor absoluto do fluxo magnético que atravessa a espira e b a corrente induzida na espira Resolução a O campo magnético fora de um fio retilíneo é 𝐵 𝜇0𝑖 2𝜋𝑟 Então pela lei de Faraday o fluxo magnético é calculado como Φ𝐵 𝜇0𝑖 2𝜋𝑟 𝑎𝑑𝑟 𝑟𝑏2 𝑟𝑏2 Integrando e aplicando os limites Φ𝐵 𝜇0𝑖𝑎 2𝜋 ln 𝑟 𝑏2 𝑟 𝑏2 Onde pelo enunciado nós temos que 𝑟 15𝑏 Φ𝐵 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 47 𝐴0022 𝑚 2𝜋 ln2 14108 𝑊𝑏 b Já pela lei de Ohm nós temos que a corrente induzida é 𝑖 𝜀 𝑅 𝜇0𝑖𝑎 2𝜋 𝑑 𝑑𝑡 ln 𝑟 𝑏2 𝑟 𝑏2 Derivando implicitamente e sabendo que 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑣 𝑖 𝜇0𝑖𝑎𝑏𝑣 2𝜋𝑅𝑟2 𝑏22 Aplicando os valores do enunciado 𝑖 4𝜋 107 𝑇 𝑚𝐴47 𝐴0022 𝑚0008 𝑚32103 𝑚𝑠 2𝜋4104 Ω200082 𝑖 1034105 𝐴 34 Uma espira retangular muito longa de largura 𝐿 resistência 𝑅 e massa 𝑚 está inicialmente suspensa na presença de um campo magnético horizontal uniforme 𝐵 que aponta para dentro do papel e existe apenas acima da reta aa É deixada cair a espira que acelera sob a ação da gravidade até atingir uma velocidade terminal 𝑣𝑡 Escreva uma expressão para 𝑣𝑡 ignorando a resistência do ar Resolução Quando o loop atinge a velocidade terminal sua aceleração é zero Portanto as forças que atuam sobre a espira estão equilibradas e essas forças são definidas pela força gravitacional e a magnética 𝑖𝐿𝐵 𝑚𝑔 Isolando a corrente 𝑖 𝑚𝑔 𝐵𝐿 Sabemos também que a corrente pode ser definida por 𝑖 𝜀 𝑅 1 𝑅 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 𝐵 𝑅 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝐵𝑣𝑡𝐿 𝑅 Igualando as duas equações 𝑚𝑔 𝐵𝐿 𝐵𝑣𝑡𝐿 𝑅 Isolando a velocidade 𝑣𝑡 𝑚𝑔𝑅 𝐵2𝐿2 38 Uma região circular no plano 𝑥𝑦 é atravessada por um campo magnético uniforme que aponta no sentido positivo do eixo z O módulo B do campo em teslas aumenta com o tempo t em segundos de acordo com a equação 𝐵 𝑎𝑡 em que a é uma constante A Fig 3057 mostra o módulo E do campo elétrico criado por esse aumento do campo magnético em função da distância radial r a escala do eixo vertical é definida por 𝐸𝑠 300 𝜇𝑁𝐶 e a escala do eixo horizontal é definida por 𝑟𝑠 400 𝑐𝑚 Determine o valor de a Resolução O campo elétrico induzido é calculado pela fórmula 𝐸 𝑑𝑠 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 Onde o perímetro de uma região circular é 2𝜋𝑟 então a integral no caminho fechado é 𝐸 𝑑𝑠 𝐸2𝜋𝑟 Já a parte direita da equação é dada por 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝐴 𝑑𝑎𝑡 𝑑𝑡 𝜋𝑟2𝑎 Juntando os resultados que encontramos 𝐸2𝜋𝑟 𝜋𝑟2𝑎 Isolando 𝑎 𝑎 2𝐸 𝑟 Substituindo os valores dados pelo enunciado 𝑎 2300106 𝑁𝐶 2103 𝑚 003 𝑇𝑠 40 A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras é 80 mH Calcule o fluxo magnético através da bobina quando a corrente é 50 mA Resolução Nós temos que o fluxo em uma bobina é dado por Φ𝐵 𝐿𝑖 𝑁 Substituindo os valores do enunciado Φ𝐵 8103 𝐻5103 𝐴 400 1107 𝑊𝑏 45 Em um dado instante a corrente e a força eletromotriz autoinduzida em um indutor têm o sentido indicado na Fig 3059 a A corrente está aumentando ou diminuindo b A força eletromotriz induzida é 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kAs determine a indutância Resolução a Seguindo a lei de Lenz a força eletromotriz se opões à variação da corrente Então se a polaridade da fem é tal que a corrente induzida tem o mesmo sentido que a corrente já existente isso indica que a corrente está diminuindo b Uma força eletromotriz autoinduzida tem a seguinte fórmula 𝜀 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Isolando a indutância e aplicando os valores do enunciado 𝐿 𝜀 𝑑𝑖𝑑𝑡 17 𝑉 25 𝑘𝐴𝑠 68104 𝐻 57 Na Fig 3065 𝑅 15 𝛺 𝐿 50 𝐻 a força eletromotriz da fonte ideal é 10 𝑉 e o fusível do ramo superior é um fusível ideal de 30 𝐴 A resistência do fusível é zero enquanto a corrente que o atravessa permanece abaixo de 30 𝐴 Quando a corrente atinge o valor de 30 𝐴 o fusível queima e passa a apresentar uma resistência infinita A chave S é fechada no instante t 0 a Em que instante o fusível queima Sugestão A Eq 3041 não se aplica use uma adaptação da Eq 3039 b Faça um gráfico da corrente i no indutor em função do tempo e assinale o instante em que o fusível queima Resolução a Como a corrente no resistor é zero antes da queima do fusível a aplicação da regra das malhas à malha formada pela fonte pelo fusível e pelo indutor nos dá 𝜀 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 0 Aqui temos uma EDO de variáveis separáveis 𝜀 𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑖 Integrando os dois lados e isolando o tempo 𝑡 𝑖𝐿 𝜀 No instante em que o fusível queima a corrente é 3 𝐴 𝑡 3 𝐴5 𝐻 10 𝑉 15 𝑠 b Usando a fórmula encontrada na letra a mas dessa vez isolando a corrente 𝑖 𝜀𝑡 𝐿 Então nós temos o gráfico de uma reta sendo representada por 59 Na Fig 3066 depois que a chave S é fechada no instante 𝑡 0 a força eletromotriz da fonte é ajustada automaticamente para manter uma corrente constante i passando pela chave a Determine a corrente no indutor em função do tempo b Em que instante a corrente no resistor é igual à corrente no indutor Resolução a Usando a regra das malhas nós temos que o circuito é representado pela seguinte EDO 𝐿 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑖1𝑅 0 Já de acordo com a regra dos nós 𝑖 𝑖1 𝑖2 A EDO é uma EDO linear e sua solução é 𝑖1 𝑖0𝑒𝑅𝑡𝐿 Onde 𝑖0 é a corrente no resistor no instante 𝑡 0 Nesse instante o indutor se comporta como um circuito aberto logo nós temos que 𝑖2 0 e 𝑖1 𝑖 𝑖0 Portanto as correntes no resistor e indutor em função do tempo são 𝑖2 𝑖 𝑖1 𝑖1 𝑒𝑅𝑡𝐿 b Já no instante em que 𝑖2 𝑖1 nós temos 𝑒𝑅𝑡𝐿 1 𝑒𝑅𝑡𝐿 𝑒𝑅𝑡𝐿 1 2 Aplicando o logaritmo nos dois lados para simplificar 𝑅𝑡 𝐿 ln 2 𝑡 𝐿 𝑅 ln2 63 No instante 𝑡 0 uma bateria é ligada em série a um resistor e um indutor Se a constante de tempo indutiva é 370 𝑚𝑠 em que instante a taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é igual à taxa coma qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor Resolução Nós sabemos que energia magnética em um indutor é 𝑈𝐵 1 2 𝐿𝑖2 Já a corrente é dada por 𝑖 𝜀 𝑅 1 𝑒𝑡𝜏𝐿 A taxa com qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor é 𝑑𝑈𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝐿𝑖22 𝑑𝑡 𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝐿 𝜀 𝑅 1 𝑒𝑡𝜏𝐿 𝜀 𝑅 1 𝜏𝐿 𝑒𝑡𝑟𝑡 𝜀2 𝑅 1 𝑒𝑡𝜏𝑡𝑒𝑡𝜏𝑡 Já a taxa com qual a energia é dissipada no resistor é 𝑃𝑡 𝑖2𝑅 𝜀2 𝑅2 1 𝑒𝑡𝜏𝑡 2𝑅 𝜀2 𝑅 1 𝑒𝑡𝜏𝑡 2 Igualando as duas equações e isolando o tempo 𝜀2 𝑅 1 𝑒𝑡𝜏𝑡 2 𝜀2 𝑅 1 𝑒𝑡𝜏𝑡𝑒𝑡𝜏𝑡 𝑡 𝜏𝑡 ln2 37 𝑚𝑠 ln2 256 𝑚𝑠 64 No instante t 0 uma bateria é ligada em série com um resistor e um indutor Para qual múltiplo da constante de tempo indutiva a energia armazenada no campo magnético do indutor é 0500 vez o valor final Resolução Nós sabemos que energia magnética em um indutor é 𝑈𝐵 1 2 𝐿𝑖2 Precisamos que a energia no instante 𝑡 seja a metade do valor final para isso 𝑈𝐵𝑡 𝐿𝑖𝑓 2 4 Logo nós temos que 𝑖𝑡 𝑖𝑓 2 Como nós temos que a corrente no indutor é 𝑖𝑡 𝑖𝑓1 𝑒𝑡𝜏𝑡 Então igualando as equações 1 𝑒𝑡𝜏𝑡 1 2 𝑡 𝜏𝑡 ln 1 1 2 123 71 Um fio de cobre conduz uma corrente de 10 𝐴 uniformemente distribuída em sua seção reta Calcule a densidade de energia a do campo magnético e b do campo elétrico na superfície do fio O diâmetro do fio é 25 𝑚𝑚 e a resistência é 33 𝛺𝑘𝑚 Resolução a A densidade de energia do campo magnético é dada pela fórmula 𝑢𝐵 𝐵2 2𝜇0 Onde o campo magnético em um fio é 𝐵 𝜇0𝑖 2𝜋𝑅 Substituindo na fórmula 𝑢𝐵 1 2𝜇0 𝜇0𝑖 2𝜋𝑅 2 𝜇0𝑖2 8𝜋2𝑅2 Aplicando os valores do enunciado 𝑢𝐵 4𝜋 107𝐻𝑚10 𝐴2 8𝜋2125103 𝑚2 16103 𝐽𝑚3 b Já a densidade do campo elétrico é 𝑢𝐸 1 2 𝜀0𝐸2 Onde o campo elétrico é 𝐸 𝜌𝐽 𝑖𝑅 𝑙 Substituindo 𝑢𝐸 1 2 8851012 10 𝐴 33 Ω 103 𝑚 2 𝑢𝐸 481015 𝐽𝑚3 75 Uma bobina retangular com N espiras compactas é colocada nas proximidades de um fio retilíneo longo como mostra a Fig 3068 Qual é a indutância mútua M da combinação fiobobina para 𝑁 100 𝑎 10 𝑐𝑚 𝑏 80 𝑐𝑚 e 𝑙 30 𝑐𝑚 Resolução Nós temos que o fluxo magnético através de uma espira retangular com campo 𝐵 produzido por uma corrente 𝑖 é Φ 𝐵𝑙 𝑎𝑏 0 𝑑𝑟 𝜇0𝑖𝑙 2𝜋𝑟 𝑎𝑏 0 𝑑𝑟 𝜇0𝑖𝑙 2𝜋 ln 1 𝑏 𝑎 Logo nós temos que a indutância mútua 𝑀 é 𝑀 𝑁Φ i 𝑁𝜇0𝑙 2𝜋 ln 1 𝑏 𝑎 Aplicando os valores do enunciado 𝑀 1004𝜋 107 𝐻𝑚03 𝑚 2𝜋 ln 1 8 1 𝑀 13105 𝐻 76 Uma bobina 𝐶 de 𝑁 espiras envolve um solenoide longo 𝑆 de raio 𝑅 e 𝑛 espiras por unidade de comprimento como na Fig 3069 a Mostre que a indutância mútua da combinação bobina solenoide é dada por 𝑀 𝜇0𝜋𝑅2𝑛𝑁 b Explique por que 𝑀 não depende da forma do tamanho ou da possível falta de compactação da bobina Resolução a A indutância mútua da combinação bobinasolenoide é 𝑀 𝑀𝑏𝑠 𝑁Φ𝑏𝑠 𝑖𝑠 𝑁𝜇0𝑖𝑠𝑛𝜋𝑅2 𝑖𝑠 𝜇0𝜋𝑅2𝑛𝑁 b Como o campo magnético do lado de fora de um solenoide longo é praticamente nulo se o solenoide estiver envolvido pela bobina C o fluxo do campo magnético através da bobina será Φ𝑠𝑐 𝐵𝑠𝐴𝑠 𝐵𝑠𝜋𝑅2 Independente da forma tamanho ou possível falta de compactação da bobina Qualquer dúvida estou à disposição no chat