Otimização com Restrições: Maximizando a Distância à Origem - Exercício Resolvido

EXEMPLO 6 Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas estão sujeitas às restrições x2 4y2 z2 4 e x y z 1 Solução Tratase de determinar os pontos que maximizam a função fx y z x2 y2 z2 fx y z é o quadrado da distância de x y z a 0 0 0 com as restrições gx y z 0 e h x y z 0 onde g x y z x y z 1 e h x y z x2 4y2 z2 4 Temos verifique Estamos indicando por B o conjunto x y z x y z 1 e x2 4y2 z2 4 Observe que B é compacto Os candidatos a extremantes locais são os x y z que tornam compatível o sistema De ① e ③ segue 2x 1 μ 2z 1 μ Para μ 1 x z Substituindo em ① e ⑤ Tempos então os candidatos 0 1 0 e Para μ 1 teremos λ 0 Segue de ② que y 0 substituindo em ④ e ⑤ Segue que são outros candidatos a extremantes Como f é contínua e B compacto basta comparar os valores de f nos pontos encontrados