P2 - 2023-2

2a. Avaliação de Cálculo 2. 18/12/2023 Definição: Dizemos que f : A ⊂ R^2 → R é diferenciável em (x_0, y_0) ∈ A, A aberto de R^2, se existirem constantes a, b ∈ R tais que, para todo (h, k) ∈ R^2 com (x_0 + h, y_0 + k) ∈ A, tivermos f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + ah + bk + r(h, k), com r(h, k) satisfazendo lim (h,k)→(0,0) r(h,k) / ||(h,k)|| = 0. Pode-se mostrar facilmente que se f é diferenciável em (x_0, y_0) então (a) f é contínua em (x_0, y_0); (b) f possui derivadas parciais em (x_0, y_0), e ∂f/∂x (x_0, y_0) = a; ∂f/∂y (x_0, y_0) = b. Segue da definição de diferenciabilidade e do item (b) acima que para verificarmos se f é diferenciável em (x_0, y_0) utilizando a definição, devemos verificar se lim (h,k)→(0,0) r(h,k) / ||(h,k)|| = 0, onde r(h,k) = f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - ∂f/∂x (x_0, y_0)h - ∂f/∂y (x_0, y_0)k. 1. Seja f : R^2 → R definida por f(x, y) = xy, e seja (x_0, y_0) ∈ R^2 um ponto arbitrário de R^2 (a) Obtenha as derivadas parciais de f em (x_0, y_0), ∂f/∂x (x_0, y_0), ∂f/∂y (x_0, y_0), utilizando a definição de derivada parcial. (b) Mostre que f é diferenciável em (x_0, y_0) utilizando a definição de diferenciabilidade. (c) Obtenha equações para o plano tangente e para a reta normal ao gráfico de f no ponto (x_0, y_0, f(x_0, y_0)). (d) Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e seja tangente ao gráfico de f. 2. Mostre que as funções abaixo não são diferenciáveis no ponto (0, 0). (a) f(x, y) = { x^2y−y^3 / x^2+y^2, (x, y) ≠ (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0) } (b) f(x, y) = { x^3 / x^2+y^2, (x, y) ≠ (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0) } 3. Seja f(x, y) = 1/5 x^3 + 3/5 y^3 + 1/2 x^2 − y^2 − 2x + y, (x, y) ∈ R^2. Obtenha equações para o plano tangente e para a reta normal ao gráfico de f no ponto (0, 1, 3/5). 1 a) Tem-se ∂f/∂x (x_0, y_0) = lim x→x_0 [f(x,y_0) - f(x_0,y_0)] / (x - x_0) = lim x→x_0 [x y_0 - x_0 y_0] / (x - x_0) = lim x→x_0 [y_0 (x-x_0)] / (x-x_0) = lim x→x_0 y_0 = y_0 e ∂f/∂y (x_0, y_0) = lim y→y_0 [f(x_0,y) - f(x_0,y_0)] / (y - y_0) = lim y→y_0 [x_0 y - x_0 y_0] / (y - y_0) = lim y→y_0 [x_0 (y-y_0)] / (y-y_0) = lim y→y_0 x_0 = x_0 b) Inicialmente r(h,k) = f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0) - ah - bk = (x_0+h)(y_0+k) - x_0 y_0 - a(x_0+h) - b(y_0+k) = (x_0+h)(y_0+k) - (x_0+h) y_0 - x_0 k = (x_0+h)(y_0+k-y_0) - x_0 k = (x_0+h)k - x_0 k = h k segue que lim (h,k)→(0,0) r(h,k) / ||(h,k)|| = lim (h,k)→(0,0) [hk / √(h^2 + k^2)] = lim (h,k)→(0,0) [h / k] * [k / √(h^2 + k^2)] lim h→0 h lim limitada Portanto, f é diferenciável em (x_0, y_0). a) A equacao do plano tangente e z - f(xo, yo) = \frac{\partial f}{\partial x} (xo, yo) \cdot (x-xo) + \frac{\partial f}{\partial y} (xo, yo) \cdot (y-yo) z - xoyo = yo (x-xo) + xo (y-yo) z - xoyo = yox - xoyo + xoy - xoyo z = yox + xoy - xoyo e da reta normal, (x,y,z) = (xo, yo, f(xo,yo)) + \lambda \left (\frac{\partial f}{\partial x} (xo,yo) , \frac{\partial f}{\partial y} (xo,yo), -1 \right) (x,y,z) = (xo, yo, xoyo) + \lambda (yo, xo, -1), \lambda \in \mathbb{R} d) Sem-c: 2 = yo \cdot 1 + xo \cdot 1 - xoyo \Rightarrow \begin{cases} yo + xo - xoyo = 2\\ -yo + xo - xoyo = 1\end{cases} \Rightarrow^{\cdot 2}\\ 2yo \mid \mid = 1\n \Rightarrow yo = \frac{1}{2} e assim,\ \frac{1}{2} + xo - xo \cdot \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow^{\cdot 2} \Rightarrow 1 + 2xo - xo = 4 xo = 3 Logo, a equacao do plano sera' z = \frac{1}{2} x + 3y - \frac{3}{2} 2a) Por definicao \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2 - 0^2}{x^2 + 0^2} - 0 = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^2}\frac{1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} = \infty Uma vez que \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) \notin \mathbb{R}, entao \n f nao e' diferen ciavel em (0,0). 1) Item - a ∂f/∂x (0,0) = lim (x→0) [f(x,0) - f(0,0)] / (x-0) = lim (x→0) [x^3/(x^2+y^2) - 0] / x = lim (x→0) x/x = lim (x→0) 1 = 1 ∂f/∂y (0,0) = lim (y→0) [f(0,y) - f(0,0)] / (y-0) = lim (y→0) [0^3/(0^2+y^2) - 0] / y = lim (y→0) 0/y = lim (y→0) 0 = 0 Assim, r(h,k) = f(0+h, 0+k) - f(0,0) - 1.h - 0.k r(h,k) = f(h,k) - 0 - h - 0 r(h,k) = [h^3/(h^2 + k^2)] - h = [h^3 - h^3 - h*k^2]/(h^2 + k^2) r(h,k) = -[h*k^2]/(h^2 + k^2) Assim. lim (h,k)→(0,0) [r(h,k)] / ||(h,k)|| = lim (h,k)→(0,0) [-h*k^2/(h^2 + k^2)^(3/2)] Seja G(h,k) = -h*k^2/(h^2 + k^2)^(3/2). Então se h=k=t, t→0 g(t,t) = -t^2*t^2/[(t^2+t^2)^(3/2)] = -t^4/(2t^2)^(3/2) = -t/(2√2|t|) lim t→0- [g(t,t)] = lim t→0 -t/(2√2(-t)) = lim t→0 [1/(2√2)] = 1/(2√2) lim t→0+ [g(t,t)] = lim t→0 -t/(2√2t) = lim t→0 -1/(2√2) = -1/(2√2) Sendo os limites laterais distintos entre si, então não existe lim t→0 [G(t,t)] logo, não existe lim (h,k)→(0,0) [r(h,k)] / ||(h,k)|| e, portanto, f não é diferenciável em (0,0). 3) Inicialmente, ∂f/∂x = 1/3 * 3x^2 + 1/2 * 2x - 2 = x^2 + x - 2 ∂f/∂y = 1/3 * 3y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2y + 1 Assim em (0,1): ∂f/∂x (0,1) = 0^2 + 0 - 2 = -2, ∂f/∂y (0,1) = 1^2 - 2*1 + 1 = 0 A equação do plano tangente será z - \frac{1}{3} = -2(x-0) + 0(y-1) z - \frac{1}{3} = -2x z = -2x + \frac{1}{3} e da reta normal, (x,y,z) = \left( 0,1,\frac{1}{3} \right) + \lambda \cdot (-2,0,-1), \ \lambda \in \mathbb{R}