Tarefa 3 - Cálculo 2 2020-2

1 TAREFA T3 - Calculo 2 - Segundo semestre de 2020 (ENPE) Considere uma placa metalica quadrada de 12cm de lado. De modo a mapear essa placa, utilizamos dois eixos coordenados, um eixo horizontal 2 e um eixo vertical y, de modo que a origem desse sistema de coordenadas esteja localizada exatamente no centro da placa. Dessa forma, a placa pode ser associada ao conjunto do plano R? dado por: C= {(a,y) ER’: -6<2%<6ce-6<y<6}. Suponha que essa placa foi mantida em um ultracongelador a uma temperatura de —40° C, e logo que foi retirada do freezer, um isqueiro foi posicionado logo abaixo da placa, sob o ponto de coordenadas (2,5), e mantido aceso por 3 minutos antes de ser apagado. Exatamente no instante em que o isqueiro foi apagado, a temperatura sobre cada ponto da placa foi medida e, com o auxilio de recursos computacionais, constatou-se que a temperatura z = T(x, y), medida em graus Celsius, em cada ponto (z, y) da placa, satisfaz a seguinte equagao: x? +y? — 0,012" — 4a — 10y + 22 — 71 = 0. 1. Faga um esboco grafico da placa descrita acima. 2. Observe que uma curva de nivel z = Jo, sendo 7p) uma constante, representa o conjunto de todos os pontos da placa que possuem temperatura igual a 7p. Faga um esbogo das curvas de nivel da temperatura da placa, nas seguintes temperaturas: z= 40,2 =0,z = 80e z = 100. Olhando para a representagao geométrica dessas curvas de nivel, descreva o que isso significa do ponto de vista da situagao problema em questao. 3. Encontre uma parametrizacao para a curva de nivel de z = T(x, y) que passa pelo ponto (5,1) e utilize esta parametrizacgao para encontrar um vetor tangente a esta curva de nivel no ponto (5, 1). 4. Utilize derivagao implicita para calcular o vetor gradiente VT(5,1), e calcule o angulo formado por este vetor gradiente e pelo vetor tangente do item 3. Faga um esbogo geométrico da curva de nivel, juntamente com os dois vetores. 5. A conclusao obtida no Exercicio 4 vale em geral. Prove que, se a: [a,b] > C é uma curva de nivel de z = T(x, y), entao, para qualquer t € [a,b], os vetores VT (a(t)) e a’(t) sao ortogonais. Obs. Esse resultado significa que, a partir de qualquer ponto sobre a placa, a diregao na qual a temperatura varia mais rapidamente é a direcao dada pelo vetor gradiente.