Lista 1 - Integrais Duplas - Cálculo 3 2020 1

Primeira Lista de Exercicios de Calculo 3 Integrais Duplas Edivaldo L Santos Marcelo J D Nascimento Bruna O Okamoto September 4 2020 1 Calcule o determinante jacobiano das seguintes transformacoes a Tx y e cos y e seny b Ty 2 y 7 x y c Tzy app eae 2 Dada a mudanga de coordenadas COSY trace a imagem das retas v e seny a vc b yd 3 Considere a transformagao zy Tp0 dada por x pcos e y psen Desenhe o conjunto TB sendo B o retangulol p 20 0 2r 4 Considere a transformacao T R R dada por rx utveyuv a Desenhe TB sendo B a reta v 0 b Desenhe 7B sendo B o quadrado 0 ulOvl c Mostre que a transformacao T transforma o circulo uv r no cfrculo x y 2r 5 Seja or0 2rcos0rsen Mostre que o transforma a reta r 1 numa elipse Desenhe tal elipse 6 Calcule através de mudanga de varidveis a ans onde B é 0 trapézio l xy 240ey 0 Resp 1 senx y B 3 Z 1 1 1 1 b Vy x2dxdy onde B é0 paralelogramo de vértices 00 5 5 01e 5 5 9 Resp Resp 55 yp c ew onde B é 0 tridngulo de vértices 00 10 0 1 B 1 1 V2 172 V2 d Vu yPdy dx Resp 3 asl V2 71 0 x 1 Vaa2 e dy dx 0 0 1 14VI22 9 f rydy dx Resp 0 1V1a g Vu yPdy dx a 0 0 0 a Va2x aen h Var x vPdy dx a0 Resp 0 0 2 i feo cosaydady onde B é 0 paralelogramo de vértices 0 0 D z e 3 3 7 Calcule a fp e dady onde D ay R31 2 y 4 y ax 0 b 2 dady onde D xy R 4a y 1 Sugestao item b Utilize a mundanga de varidveis para coordenadas polares r 5co0s0 sex 5 yrsend com06027e0rl Neste caso Ar8 2 8 Seam A z7y R1a2y24e7 x0eyeriwseBuvR1 v2uvuueus dh a Verifique que B TA onde uv Tzy comurevy2 b Verifique que a area de A é igual a area de B 9 Uma placa fina cobre a regiao triangular limitada pelo eixox e pelas retas x 1 e y 2 no primeiro quadrante A densidade da placa no ponto zy é px y 6x 6y 6 Encontre a massa da placa e o centro de massa do sistema 10 Seja D a regiao do plano entre a parabola y 6 x e areta y 2v 3 Calcule a Area de D a massa e o centro de massa de uma lamina com a forma de D e densidade constante 11 Determine o centro de massa de uma lamina semicircular sendo a densidade de qualquer ponto P xy proporcional a distancia de P ao centro do circulo 12 a Encontre a massa e o centro de massa de uma placa fina com a forma de uma regiao D limitada pelas curvas x y ex 2yy se a densidade no ponto 2 y for px y y1 b Supondo agora que a placa tenha densidade 6 constante determine 6 para que a placa tenha a mesma massa que a obtida no item anterior 13 Determine o centro de massa a B x y R2 x2 4y2 1 y 0 e a densidade e proporcional a distˆancia do ponto ao eixo x b B e o triˆangulo de vertices 0 0 1 0 e 1 1 e a densidade e proporcional ˆa distˆancia do ponto a origem c B e o conjunto de todos x y tais que 1 x2 y2 4 y 0 e a densidade e proporcional a distˆancia do ponto a origem