Lista 4 - Integrais de Linha - Cálculo 3 2021 2

Quarta Lista de Exercicios de Calculo 3 Integrais de Linha Profs Edivaldo Lopes dos Santos e Marcelo J D Nascimento October 5 2021 1 Calcule F dy sendo dados Y a Fxy2 xittyjzke yt cost sentt 0t 2r b Fzyz atytzke yt tt1 0t lL c Fay 2j e yt t3 l1t 1 d Fay 227 ayj e yt t sent Ot a c Fayz 221 y272ke yt 2cost 3sentt 0t 2m 2 Uma particula deslocase em um campo de forcas dado por F xy 2 yitajt zk Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da particula de ya até yb sendo dados a yt cost sentta0eb 2r b yt 2t4 1t1taleb2 c yt cost0 sent a0eb 2r 3 Calcule a ow ydy sendo y dada por x t ey sent Ot Y b ow y dy zdz onde y é 0 segmento de extremidades 0 00 e 1 21 percorrido Y no sentido de 1 21 para 00 0 c pp dx dy onde y tem por imagem x y 4 x 0 e y 0 o sentido do percurso Y é de 20 para 0 2 4 Seja F R R um campo vetorial contnuo tal que para todo xy Fz y paralelo ao vetor zi yj Calcule F dr onde ab R é uma curva de classe C cuja imagem Y esta contida na circunferéncia de centro na origem e raio r 0 Interprete geometricamente 1 5 Sejam F um campo vetorial continuo no aberto Q C R y ab 3 Qe 2 cd 4 QD duas curvas de classe C Mostre que se yz é obtida de 7 por uma mudanca de parametro que reverte a orientacao isto 6 se y2u y1gu com g de classe C Im g ab e gu 0 para todo u cd entao F dy F dy v1 2 6 Seja F um campo vetorial continuo em R Justifique as igualdades 5 uw a Fedy F dy2 onde yt tt O0 t 1 e y2u 3D 4 Ouc2 1 12 24 b F dy F dy2 onde yt cost sent 0 t 27 e y2u cos 2u sen2u 0 we 7 2 c F dy F dy2 onde yt cost sent com 0 t 27 e yu V1 2 cos27 u sen2a u OS u 2a d F dy F dy2 onde yt tt l t 1 e 72u 1 U 1 u 0 we 9 42 7 Calcule rot F em cada um dos tens abaixo a Fvy2z yitajczk b Fzyz xityj tack c Fayz yzttazjtazyk d Fxy2 yi e Fay 2 vyi a j 8 Verifique em cada um dos casos abaixo se 0 campo vetorial dado é conservativo justificando sua resposta a Fx Y4 w x Y 4 w b Fay yit aj c Fay2 ayit tyt apt 2k 9 Em cada um dos itens abaixo verifique se a forma diferencial dada é exata Justifique a xdx ydy zdz b 2rydx xdy c yzdx xzdy xydz d ydax a ydy ec w ydax y xdy f eb Mada ydy g xydx y2dy ryzdz 10 Sejam PQ R funcoes de classe C em um aberto 2 C R Mostre que se a forma diferencial Pxy zdu Qx y zdy Rx y zdz é exata entio OP 2 oP OR 0Q OR wg Oy Ox Oz Ox Oz Oy 11 Calcule a oe y dz e dy onde y é a fronteira do triangulo de vértices 00 01 e 1 2 y orientada no sentido antihorario b pu dy onde y é a poligonal de vértices Ap 00 Ar 12 Ag 13 A3 y 21 e Ay 11 sendo orientada de Ag para Ay c Jv dx xdy dz onde y é a poligonal de vértices Ag 000 Ay 111 e y Ay 110 orientada de Ap para Ap 12 Calcule a vee xdy onde y 6 uma curva cuja imagem é 0 segmento de extremidades 11 e y 22 orientada de 11 para 2 2 0 y b s dz s dy I a y x yp c sentou xy cosxydx x cosxydy onde yt 1t7 1 1t1 y 13 Mostre que a integral dx dy é nula qualquer que seja a curva fechada de classe C por partes 14 Mostre que Fdr independe do caminho em cada um dos tens abaixo y a Fay 30y 2i 9 4y3j b Fx y 2x seny 4e i 2 cosy 2j 15 Mostre que Fdr independe do caminho de integragao se e somente se Fdr 0 para y y toda curva fechada de classe C por partes em 2