Lista 2 - Integral de Linha Teorema de Green Integral de Superfície Fluxo Teorema da Divergência e Teorema de Stokes 2021 2

Cálculo 3 2021 INTEGRAL DE LINHA TEOREMA DE GREEN INTEGRAL DE SU PERFÍCIE FLUXO TEOREMA DA DIVERGENCIA E TEOREMA DE STOKES 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS Lista individual Deverá ser feita à mão Resolver digitalizar e fazer upload da reso lução até 18042022 às 23h59 O exercício precisa estar legível 1 Calcular a integral curvilínea C xz dS em que C é a interseção da esfera x2 y2 z2 4 com o plano x y Resposta 0 2 Verificar se o campo de força f yz cosxi xz senyj xyk é conser vativo Em caso afirmativo determinação uma função potencial para esse campo e calcular o trabalho que ele faz sobre uma partícula que se desloca de A1 10 a B231 3 Seja R 0 π 2 x0 π Calcule C xcos2ydx ysen2xdy em que C é a fronteira de R orientada no sentido horário Resposta π2 2 4 Calcule o volume da região B x y z 1 x2 y2 z 4 Resposta 15π 2 5 Determine o plano tangente à superfície dada no ponto dado a 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢2 𝑣2 em 𝑢 𝑣 11 Resposta x y z 112 s102 t012 s t ℝ2 b 𝑟𝑢 𝑣 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢𝑣 𝑒𝑢2𝑣2 𝑢 𝑣 em 𝑢 𝑣 1 1 Resposta x y z π 4 12 s 1 2 21 t 1 2 2 1 s t ℝ2 6 Calcule a área a 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 1 𝑢 𝑣 𝑢 0 𝑣 0 𝑢 𝑣 1 Resposta3 2 b 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 2 𝑢 𝑣 𝑢2 𝑣2 1 Resposta π3 c 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢2 𝑣2 𝑢2 𝑣2 4 Resposta π 6 1717 1 7 Calcule 𝑆 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑆 sendo a 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢2 𝑣 0 𝑢 1 𝑢2 𝑣 1 Resposta 2 10 33 2 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 2𝑢 𝑣 1 0 𝑢 1 0 𝑣 𝑢 Res posta 14 6 Cálculo 3 2021 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑟𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 1 𝑢2 0 𝑢 1 0 𝑣 𝑢 Resposta 1 24 55 1 8 Considere um escoamento com velocidade 𝑣𝑥 𝑦 𝑧 e densidade 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 tal que 𝑓 𝜌𝑣 seja dado por 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 2𝑧𝑘 Seja S a superfície 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 𝑧 2 e seja 𝑛 a normal com componente 𝑧 0 Calcule o fluxo de 𝑓 através de S Resposta4π2 9 Considere novamente o campo 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 2𝑧𝑘 Seja B a esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 calcule 𝑆 𝑓 𝑛 𝑑𝑆 em que S é a fronteira de B com 𝑛 apontando para fora de B Resposta0 10 Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧2𝑘 e seja S a fronteira do cilindro 𝑥2 𝑦2 4 e 0 𝑧 3 Calcule 𝑆 𝐹 𝑛 𝑑𝑆 em que 𝑛 é a normal que aponta para fora do cilindro Resposta 36π 11 Calcule 𝑆 𝐹 𝑛 𝑑𝑆 sendo 𝐹 𝑥𝑦𝑖 𝑦𝑧𝑗 𝑧2𝑘 S a fronteira de 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ30 𝑥 1 0 𝑦 𝑥 0 𝑧 4 e 𝑛 a normal que aponta para fora de B Res posta 38 3 12 Seja S o gráfico de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 1 e 𝑛 a normal a S com compo nente 𝑧 0 Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦𝑖 𝑥𝑦2𝑗 𝑘 Calcule 𝑆 𝐹 𝑛 𝑑𝑆 Res postaπ 13 Utilizando o teorema de Stokes transforme a integral 𝑆 𝑟𝑜𝑡 𝐹 𝑛 𝑑𝑆 em uma in tegral de linha e calcule a 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑘 𝑆𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢2 𝑣2 com 𝑢2 𝑣2 1 e 𝑛 a normal apon tando para cima Resposta0 b 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑖 𝑥2𝑗 5𝑘 𝑆𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 1 𝑢2 com 𝑢 0 𝑣 0 𝑢 𝑣 1 e 𝑛 a normal apontando para cima Resposta 5 6 c 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑖 𝑥2𝑗 𝑧𝑘 𝑆𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 2𝑢 𝑣 1 com 𝑢 0 𝑣 0 𝑢 𝑣 2 e 𝑛 a normal apontando para baixo Resposta 2 3 Calcular a integral curvilínea C xz ds em que C é a interseção da esfera x² y² z² 4 com o plano x y Resposta 0 Verificar se o campo de força F yz cosxi xz senyj xyzk é conservativo Em caso afirmativo determinação uma função potencial para esse campo e calcular o trabalho que ele faz sobre uma partícula que se desloca de A110 a B231 Seja R 0 π2 x 0 π Calcule C xcos²ydx ysen²xdy em que C é a fronteira de R orientada no sentido horário Resposta π2 Resolvendo o sistema temse que yxyz xyz x²z cos x é a função potencial de F Para calcular o trabalho que é feito sobre o deslocar de A110 até B231 realizado por F Wp ψB ψA 6 sin 2 cos 3 0 sin 1 cos 1 454 J Logo a integral de linha no sentido horário é Calcule o volume da região B xyz 1 x² y² z 4 Resposta 15π2 Determine o plano tangente à superfície dada no ponto dado ru11 12 2 1 rv11 12 2 1 A N dA ruv uvu²v² u²v² δ A 4u²5v²1 dvdu N 4u²z² Fruv u 132 2366 4663 242 422 132 25 x52 22 x32 2 6 132 26 s25 46 s23 22 s25 42 s23 O fluxo de um campo vetorial é dado por Phi int intS mathbfF cdot mathbfn dS c fxyz y mathbfruv uv1u2 0 leq u leq 1 0 leq v leq sqrtu frac1245sqrt5 1 8 Considera um escoamento com velocidade mathbfvxyz e densidade rhoxyz tal que mathbfF rho mathbfv seja dado por mathbfF xi yj 2zk Seja S a superfície x2 y2 z2 4 z geq sqrt2 e seja mathbfn a normal com componente z 0 Calcule o fluxo de mathbfF através de S Resposta 4pisqrt2 x 2 sin φ cos θ y 2 sin φ sin θ z 2 cos φ 9 Considere novamente o campo overrightarrowF xhati yhatj 2zhatk Seja B a esfera x2y2z24 calcule S overrightarrowF cdot hatn ds em que S é a fronteira de B com hatn apontando para fora de B Resposta0 10 Seja overrightarrowFxyz xyz2hatk e seja S a fronteira do cilindro x2y24 e 0z3 Calcule S overrightarrowF cdot hatn ds em que hatn é a normal que aponta para fora do cilindro Resposta36pi como a região de integração é um cilindro x2y24 ϕ 2zr dz dr dθ ϕ y 3z dy dz dx Seja S o gráfico de fxy x² y² x² y² 1 e z 0 Frrθ r3 cos2 θ sen θ r3 cos θ sen2 θ 1 rot F 1 0 0 Fxyz yk x2 j S Suv 102u Sv 010 R uv ℝ² 0u1 0v1u Fxyz u1 x² z Suv uv2kuh1 u0 v0 uv2 n para baixo como uv2 u0 e v0 v2u 2u²u²uz du 2u²2u u2 du