Slide - Volumes e Integrais Duplas 2021 2

Cálculo 3 Larissa Oliveira larissaoliveiraufscarbr Texto imagens e exemplos retirados de STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2016 v 2 Na última aula Volumes e Integrais Duplas De modo semelhante vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R a b c d x y a x b c y d e vamos inicialmente supor que f x y 0 O gráfico f é a superfície com equação z f x y Integrais Iteradas Integrais Iteradas Atividade para presença Aula 02 Calcule 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑥𝑦 e 𝑅 é o retângulo 1 𝑦 3 0 𝑥 1 Integrais Iteradas 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑥𝑦 e 𝑅 é o retângulo 0 𝑥 1 1 𝑦 3 න 1 3 න 0 1 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 න 1 3 𝑒𝑦 𝑦 𝑒𝑦 𝑦2 1 𝑦2𝑑𝑦 𝑒 2 3 e3 3 464 න 0 1 න 1 3 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 0 1 𝑒3𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒3 1 3 𝑒 1 464 Integrais Iteradas 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑥𝑦 e 𝑅 é o retângulo 1 𝑥 3 0 𝑦 1 න 0 1 න 1 3 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 න 0 1 3𝑒3𝑦 𝑦 𝑒3𝑦 𝑦2 𝑒𝑦 𝑦 𝑒𝑦 𝑦2𝑑𝑦 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 න 1 3 න 0 1 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 1 3 𝑒𝑥 1𝑑𝑥 𝑒3 𝑒 2 Integrais Iteradas 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑦 e 𝑅 é o retângulo 0 𝑥 3 0 𝑦 1 න 0 1 න 0 3 𝑦𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 න 0 1 𝑒3𝑦 1𝑑𝑦 𝑒3 1 3 1 න 0 3 න 0 1 𝑦𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 0 3 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 𝑥2 1 𝑥2𝑑𝑥 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 Integrais Iteradas Hoje Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Para as integrais de funções de uma variável real a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo Porém para integrais duplas queremos integrar a função f não somente sobre retângulos como também sobre uma região D de forma mais geral como a ilustrada na figura Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de x ou seja D x y a x b g1 x y g2 x onde g1 e g2 são contínuas em a b Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostrados na figura Algumas regiões do tipo I Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Para calcularmos D f x y dA quando D é do tipo I escolhemos um retângulo R a b c d que contenha D como na figura e consideramos a função F definida como f em D e F é 0 fora de D Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Então pelo Teorema de Fubini Observe que F x y 0 se y g1 x ou y g2 x porque x y está fora de D Portanto porque F x y f x y quando g1 x y g2 x Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Portanto temos a seguinte fórmula que nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada A integral do lado direito de 3 é uma integral iterada exceto que na integral de dentro consideramos x constante não só em f x y mas também nos limites da integração g1 x e g2 x Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Exemplo Calcule D x 2y dA onde D é a região limitada pelas parábolas y 2x2 e y 1 x2 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais 1516 Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração Então calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil 15 D y dA D é limitada por y x2 x y2 16 D y ex y dA D é limitada por y x y 4 x 0 Consideraremos também regiões planas do tipo II que podem ser expressas como D x y c y d h1y x h2y onde h1 e h2 são contínuas Essas duas regiões estão ilustradas nas figuras Algumas regiões do tipo II Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer 3 podemos mostrar que Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Exemplo Calcule D xy dA onde D é a região limitada pela reta y x1 e pela parábola y2 2x 6 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais 21 D 2xy dA D é limitada pelo círculo de centro na origem de raio 2 22 D y dA D é a região triangular com vértices 0 0 1 0 e 1 1 A seguinte propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma função de uma variável real dada pela equação Se D D1 U D2 onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras então Propriedades das Integrais Duplas A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que não sejam nem do tipo I nem do tipo II D não é do tipo I nem do tipo II D D1 D2 D1 é do tipo I D2 é do tipo II Propriedades das Integrais Duplas A próxima propriedade de integrais diz que se integrarmos a função constante f x y 1 sobre uma região D obteremos a área de D Propriedades das Integrais Duplas A figura abaixo ilustra por que a Equação 10 é verdadeira um cilindro sólido cuja base é D e a altura é 1 tem volume AD 1 AD mas sabemos que também podemos escrever seu volume como D 1 dA Propriedades das Integrais Duplas Propriedades 1 𝑅 𝑘𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑘 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 2 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑔 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 3 Se 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 então 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑔 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 4 Se 𝑓 𝑥 𝑦 0 então 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 0 Propriedades das Integrais Duplas 16 Calcule a integral iterada 1 04 x2y dy dx 3 12 xey dx dy 5 01 0s coss ds dt 6 0s 1v2 du dv STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2016 v 2 Atividade para presença Aula 03 Calcule o volume do sólido delimitado por z 4 x y x 0 x 2 y 0 e y 1 4 𝑥 1 2 Integrais Duplas