Slide - Revisão da Integral Definida 2021 2

Cálculo 3 Larissa Oliveira larissaoliveiraufscarbr Texto imagens e exemplos retirados de STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2016 v 2 Na última aula Revisão da Integral Definida Antes de tudo vamos relembrar os fatos básicos relativos à integral definida de funções de uma variável real Se f x é definida em a x b começamos subdividindo o intervalo a b em n subintervalos xi 1 xi de comprimento igual x b an Revisão da Integral Definida Assim formamos a soma de Riemann e tomamos o limite dessa soma quando n para obter a integral definida de a até b da função f Revisão da Integral Definida Atividade para presença Aula 01 Calcule 1 A área da função y cosx de 0 até π 2 0 π cosxdx Volumes e Integrais Duplas De modo semelhante vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R a b c d x y a x b c y d e vamos inicialmente supor que f x y 0 O gráfico f é a superfície com equação z f x y Volumes e Integrais Duplas Seja S o sólido que está acima da região R e abaixo do gráfico de f isto é S x y z 0 z f x y x y R Se escolhermos um ponto arbitrário que chamaremos ponto de amostragem 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 em cada Rij poderemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina ou coluna com base Rij e altura 𝑓𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 O volume dessa caixa Volumes e Integrais Duplas Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes obteremos uma aproximação do volume total de S Volumes e Integrais Duplas Essa aproximação melhora quando aumentamos os valores de m e n e portanto devemos esperar que Limites do tipo que aparecem na Equação 4 ocorrem muito frequentemente não somente quando estamos determinando volumes mas também em diversas outras situações mesmo f não sendo uma função positiva Assim faremos a seguinte definição Volumes e Integrais Duplas Comparando as Definições 4 e 5 vemos que o volume pode ser escrito como uma integral dupla A soma na Definição 5 é chamada soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da integral dupla Volumes e Integrais Duplas Hoje Exemplo Estime o volume do sólido que está acima do quadrado R 0 2 0 2 e abaixo do paraboloide elíptico z 16 x2 2y2 Divida R em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de amostragem como o canto superior direito de cada quadrado Rij Faça um esboço do sólido e das caixas retangulares aproximadoras Volumes e Integrais Duplas z 16 x² 2y² Integrais Iteradas Se agora integrarmos a função A com relação à variável x de x a a x b obteremos Da mesma forma a integral iterada Exemplo Calcule o valor da integral iterada න 0 3 න 1 2 𝑥2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Integrais Iteradas Exemplo Calcule o valor da integral iterada න 1 2 න 0 3 𝑥2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Integrais Iteradas Integrais Iteradas Exemplo Calcule 𝑅 𝑥 3𝑦2 𝑑𝐴 onde 𝑅 𝑥 𝑦 0 𝑥 2 1 𝑦 2 Integrais Iteradas No caso especial em que fx y pode ser fatorado como o produto de uma função só de x por uma função só de y a integral dupla de f pode ser escrita de forma particularmente simples Para sermos específicos suponha que fx y gxhy e R a b c d Então o Teorema de Fubini nos dá R fx y dA cd gxhy dx dy cd ab gxhy dx dy Na integral interna y é uma constante então hy é uma constante e podemos escrever cd ab gxhy dx dy cd hyab gx dx dy ab gx dx cd hy dy onde R a b c d Exemplo Calcule 𝑅 16 𝑥2 2𝑦2 𝑑𝐴 onde 𝑅 02 x 02 Integrais Iteradas Exemplo Calcule 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑦𝑑𝐴 onde 𝑅 0 𝜋2 x 0 𝜋2 Integrais Iteradas STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2016 v 2 Atividade para presença Aula 02 Calcule 𝑅 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑥𝑦 e 𝑅 é o retângulo 1 𝑦 3 0 𝑥 1 Integrais Iteradas