Cálculos de Distâncias entre Pontos, Retas e Planos

Distância entre dois pontos P1x1 y1 z1 e P2x2 y2 z2 dP1 P2 P1P2 x2 x1² y2 y1² z2 z1² Exemplo Calcule a distância entre os pontos P17 3 4 e P21 0 6 dP1 P2 P1P2 1 7² 0 3² 6 4² 36 9 4 7 Distância entre um ponto P0x0 y0 z0 e uma reta r d dP0 r v P0P1 v Exemplo Calcule a distância do ponto P02 0 7 à reta r x2 y 22 z 31 Resp Temse que P1 r sendo P10 2 3 e o vetor diretor da reta é v 2 2 1 Observe que o comprimento do vetor v isto é v 4 4 1 3 e o vetor P1P0 2 2 10 Agora devemos fazer o produto vetorial entre os vetores v e P1P0 ou seja v P1P0 i j k 2 2 1 18i 22j 8k e v P1P0 182 22² 8² 872 22 109 Assim dP0 r 182 22² 8² 872 22 1093 Exemplo Calcular a distância entre as retas r1 y 2x 3 z 2x e r2 x 1 2t y 1 4t z 3 4t Resp O vetor diretor de r1 é v1 1 2 2 e o vetor diretor de r2 é v2 2 4 4 Claramente esses vetores são proporcionais v2 2v1 As retas são paralelas Assim devese usar a fórmula d dP1 P2 Um ponto de r1 é P10 3 0 e um ponto de r2 é P21 1 3 assim P1P2 1 2 3 então v1 P1P2 102 1 4² 117 Agora o comprimento de v1 é v1 1 4 4 3 Portanto d dP1 P2 117 3 Exemplo Calcular a distância entre as retas r1 y 2 1 x2 e r2 x 3 y 2t 1 z t 3 Resp Um ponto da reta r1 é P12 1 4 e o vetor diretor da reta r1 é v1 1 0 2 Um ponto da reta r2 é P23 1 3 e o vetor diretor da reta r2 é v2 0 2 1 Essas retas não são paralelas já que v1 e v2 não podem ser proporcionais Observe que a segunda entrada do v1 é nula e a de v2 não é Devese verificar se as retas estão no mesmo plano para isso calculase o produto misto entre os vetores v1 v2 P1P2 v1 v2 P1P2 1 0 2 0 2 1 5 2 1 11¹ 0 δ12 20 10 16 Devese verificar se os planos são paralelos para isso devese verificar se os vetores normais dos planos são paralelos Os vetores normais são n₁ 2 2 1 e n₂ 4 4 2 claramente os vetores são paralelos Assim tomase um ponto de um dos planos digamos de π₁ e fazse a distância entre ponto e plano Seja P₁1 1 5 π₁ logo dπ₁ π₂ dP₁ π₂ P₁ π₁ dP₁ π₂ 4 1 4 1 2 5 14 42 42 22 24 36 24 6 4 Distância entre uma reta e um planos paralelos dr π dP₀ π com P₀ r Obs Por favor verifique e informe ao professor responsável se há algum erro 4