Seções Cônicas: Definições, Exemplos e Classificação

1 Secoes Cˆonicas Uma equacao quadratica e uma equacao em x e y da seguinte forma Ax2 2Bxy Cy2 Dx Ey F 0 1 sendo A B C D E e F numeros reais Exemplo Considere a equacao quadratica 5x2 10bxy 2y2 x y 3 0 neste caso A 5 B 5 C 2 D 1 E 1 e F 3 Chamamos de cˆonicas ou secoes cˆonicas os graficos de equacoes quadraticas em x e y As prin cipais cˆonicas sao as elipses as hiperboles e as parabolas Um ponto e pares de retas sao cˆonicas degeneradas Uma cˆonica naodegenerada esta na posicao padrao relativas aos eixos coordenados se sua equacao podem ser expressa como Elipse x2 a2 y2 b2 1 a b 0 2 Um cırculo e uma elipse cujos valores de a e b e 1 Hiperbole x2 a2 y2 b2 1 ou y2 b2 x2 a2 1 a b 0 3 Parabola y2 2px ou x2 2py 4 Uma maneira de visualizar a obtencao de uma cˆonica e atraves da intersecao de um plano a um cone Figura 1 Figura 1 Cone cortado por planos em diferentes ˆangulos formando as diferentes cˆonicas Uma cˆonica na posicao padrao nao possui termo xy chamado de termo misto ou termo produto cruzado em sua equacao O termo misto aparece quando a cˆonica for rotacionada veja Figura 1 Alem disso se uma cˆonica apresenta simultaneamente os termos x2 e x ou os termos y2 e y e porque a mesma saiu da posicao padrao devido a uma translacao Figura 2 Elipse rotacionada Os exemplos que se seguem apresentacao respectivamente os dois casos Exemplo A equacao abaixo representa uma elipse que sofreu rotacao 5x2 4xy 8y2 36 0 Exemplo A equacao abaixo representa uma elipse que sofreu uma translacao 2x2 2y2 12x 4y 18 0 Uma equacao na forma completa como a equacao 1 representa uma cˆonica que foi transla dada e rotacionada Com por exemplo a elipse do exemplo abaixo Exemplo A equacao abaixo representa uma elipse que sofreu uma translacao e uma rotacao 5x2 4xy 8y2 20 5x 80 5y 4 0 11 Classificacao de uma cˆonica Considere a equacao geral das cˆonica Ax2 2Bxy Cy2 Dx Ey F 0 sendo A B C D E e F numeros reais Quando A2 B2 C2 0 podemos classificar a cˆonica como uma elipse uma parabola ou uma hiperbole e isto depende do discriminante ou outras curvas degeneradas Lembrese que B2 4AC A cˆonica sera uma Page 2 Hiperbole se 0 Elipse se 0 Parabola se 0 Obs Situacoes degeneradas A hiperbole pode ser transformada em duas retas concorrentes A elipse pode se transformar em um ponto A parabola pode se transformar em uma unica reta ou em duas retas paralelas 12 A elipse Elipse e o lugar geometrico dos pontos de um plano cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos desse plano e constante A seguir veremos a definicao precisa de uma elipse e a partir de tal definicao encontraremos a equacao que a descreve Uma elipse na forma padrao pode conter seu eixo maior em cima do eixo x a b ou em cima do eixo y a b Equacao da elipse com focos no eixo x do sistema de coordenadas posicao padrao x2 a2 y2 b2 1 Figura 3 Elipse com focos no eixo x do sistema de coordenadas Page 3 Equacao da elipse com focos no eixo y do sistema de coordenadas posicdo padrdao 2 2 x yoo 4 be a Figura 4 Elipse com focos no eixo y do sistema de coordenadas Algumas caracteristicas da elipse 1 Eixo maior 0 eixo que contém os focos Fe Fh os vértices do eixo maior s40 A e Ay eo segmento A A possui comprimento 2a 2 Eixo menor eixo perpendicular ao eixo maior os vértices do eixo menor sao B e Bz eo segmento B By possui comprimento 2b c 3 Excentricidade e sendo el a Observamos 0 seguinte se esta bem proximo de Ff entao nossa elipse se assemelha a uma circunferéncia e se F F temos exatamente uma circunferéncia Quanto mais proximo de zero a excentricidade for mais proxima de uma circunferéncia a elipse é Toda elipse obedece a seguinte relagao 2 22 2 7 aibc relacgao de Pitagoras Definicdo Elipse é 0 conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos é constante Os pontos fixo sao chamados de focos Da definigéo de elipse podemos obter a equagao que a descreve Seja P xy um ponto qualquer da elipse de focos F c0 e Fy c 0 da definigao temos FP P 20 ou seja V y 0 Vx y 0 2a Page 4 Vaart 2actPy 2a Vx 24cC04y elevando ao quadrado ambos os lados da expressao xe 2rcC4y 4a 4ax 2re4 2 y2 27 2ace4Cy fazendo simplificagdes dayx 2Qac4 2 y 4a Axrc elevando ao quadrado a expressao acima aa 2ace 2 y a4 2aac 4 a novamente fazendo simplificagdes chegamos a c x ay aa c mas a c b Petey ab dividindo por ab temos x ye 1 az wy y Exemplo A equacao da elipse 35 97 ltema5eb3 De modo andlogo do que foi feito acima podemos deduzir a equacAo da elipse cujo eixo maior esta sobre 0 eixo dos y 2 2 x ye 1 b2 a wy y Exemplo A equacao da elipse 3 7 1 tema V7eb v2 O maior dos denominadores na equacdo reduzida sempre representa o niimero a onde a é a medida do semieixo maior 13 Aplicacodes Sao varios os campos onde podemos encontrar aplicagdes dos estudos das cGnicas seja na fisica astronomia na medicina nas engenharias na arquitetura na industria automobilistica etc Usa mos as formas cOnicas na construcao de candeeiros lanternas caixas de som espelhos refletores antenas parabdlicas fardis de carros e até mesmo na construcao civil o grande arquiteto Oscar Niemeyer abusou e muito das formas c6nicas em cada estado podemos encontrar uma construgao que serve de cartao postal Um bom exemplo em nosso estado é a Igrejinha da Pampulha Page 5 Teorema Considere a equacao Aa 2Bry Cy Da EyF 0 5 com A B C D E F R sendo A B e C nao simultaneamente nulos Entao existe um sistema de coordenadas ortogonais xy em que a equacao 5 tem a forma ya 4 roy 4 D x 4 Ey 4 F em que A Az 40 os autovalores de A A B BC Mais ainda X PX em que X X e P uma matriz ortogonal P P Obs Veremos a definiagao de autovalores em breve Exercicios 1 a Determinar o centro os vértices os focos 0 esboo do grafico e a excentricidade da Ax Oy 247 18y90 b Determinar 0 vértice o foco 0 esbocgo do grafico e a equacao da diretriz da x 2x 20y 39 0 2 Leia Hiperbole Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferenga das distancias em valor absoluto a dois pontos fixos desse plano é constante Consideremos no plano dois pontos distintos F e fF tal que a distancia dF Fy 2c Seja um ntimero real a tal que 2a 2c Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que dP F dP F2 2a ou dP F dP F2 42a dase o nome de hipérbole Equacao da hipérbole com centro no origem do sistema de coordenadas A equacao da hipérbole é wy y Hf a2 quando o eixo real esta sobre o eixo dos x e seu centro é a origem do sistema coordenado As retas y a ey 2y sao chamadas assintotas dessa hipérbole e os pontos A2a 0 e Aa 0 sao chamados vértices dessa hipérbole Page 6 Exemplo x2 9 y2 4 1 3 Inspirado no desenho do exemplo faca as assıntotas da hiperbole do desenho ilustrativo acima A equacao da hiperbole e y2 b2 x2 a2 1 quando o eixo real esta sobre o eixo dos y e seu centro e a origem do sistema coordenado As retas y b ax e y b ax sao as assıntotas dessa hiperbole e os ponto A20 b e A10 b sao os vertices 4 Desenhe as assıntotas da hiperbole acima Exemplo y2 4 x2 9 1 Page 7 5 Fazer o desenho da hiperbole 9x2 7y2 63 0 indicando os elementos exemplo focos vertices assıntotas etc Page 8