Cálculo da Área de Superfície Parametrizada

R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Area de Superfıcie Para definir a area de uma superfıcie parametrizada iremos comecar considerando que D o domınio dos parˆametros e uma regiao retangular Agora iremos dividir D em sub retˆangulos Rij e escolher o canto inferior esquerdo de cada subretˆangulo Ri j para os pontos u i v j A parte S ij da superfıcie S que corresponde a Ri j e chamada de retalho e tem um ponto Pij com vetor posicao ru i v j como um de seus cantos u v O u i v j Rij u v S S ij Pij x y z Figura 1a Figura 1b Os vetores tangentes as curvas de grade no ponto Pi j sao dados por r u ruu i v j r v rvu i v j Como podemos ver na figura 2 podemos aproximar o retalho S i j por um paralelogramo determinado pelos vetores secantes que por sua vez podem ser aproximado pelos vetores tangentes a ru i u v j ru i v j b ru i v j v ru i v j Sabemos que r u lim u0 ru i u v j ru i v j u e portanto a ur u de forma similar b vr v 1 R Falcao Calculo I UFSJCAPERE Pj Jo Pij IN Aur Figura 2 logo o retalho S pode ser aproximado por um paralelogramo determinado pelos vetores Aur e Avr E portanto a area de S pode ser aproximada por Aur x Avr Ir x rAuAv portanto uma aproximagao da area S é D lin rllAwAv il jl a medida que aumentamos o ntmero de subretangulos aumentamos a precisao dessa aproximaao a soma dupla acima é justamente um soma dupla de Riemann para a in tegral dupla ff Tn Ir X rdudv Portanto podemos fazer a seguinte definigao Definigao Se uma superficie parametrizada suava S é dada pela equagao ru Vv xu vit yu vjzZuvk uv D e S écoberta uma Unica vez quando u v percorre todo 0 dominio D entaoa area da superficie de S é AS f Ir X rdudv D 2 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Exemplo Determine a Area da esfera de raio a Solucao Podemos parametrizar a esfera da seguinte forma x asengcosé y asengsend Zacosd onde D 00 a 0 27 Calculando o produto vetorial entre dos vetores tangentes temos ij k nn ryXto 3 36 ae dx OY az 00 3080 asencos 6i asensen 6j asend cos k Logo IIo X Yell asen Portanto a area da esfera é 27 ud A f IIrp X FglldA asen déd 4a D 0 0 Area de Superficie do Grafico de uma Funcao Para caso onde S 0 grafico de um funcao z fxy onde x y estaem De f tem derivadas parciais continuas podemos usar 0 x y como parametros Logo xXx yy z fxy portanto Of Of x Yr Brest Ox yd Oy um calculo simples nos da dz dz llr X Kyl yfl Ox Oy e portanto dz dz as ff 1 dA D Ox Oy 3 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE recuperando o resultado que ja tinhamos obtido anteriormente Também podemos analisar o caso especifico de uma superficie S obtida pela rotagao da curva y fx 0a x bemtorno do eixo x Para tanto iremos usar a parametrizaao xx y fx cosé z fxsené e portanto seus vetores tangentes sao r i fx cos 6j fxsen 6k Yo fxsen 6j fx cos 6k logo ry Xo fx f Wi fx cos 6j fxsen 6k portanto Irs x Fell FO V1 f0 de onde obtemos que a area de S é 2m b b A ff inoxnlaa 0 fey vie PoPasae 20 fo VIF POPs D 0 a a e novamente recuperamos um resultado que ja haviamos obtido anteriormente Na derivacao anterior dessa formula aproximamos a superficie de revolucao por troncos de cone e cal culamos a area lateral desses troncos de cone 4