Superfícies Parametrizadas e Cilindros em Cálculo III

R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Superfıcies Parametrizadas Podemos descrever uma superfıcie por uma funcao vetorial a dois parˆametros u e v de modo similar a descricao de um curva espacial por uma funcao vetorial de apenas um parˆametro Considere ru v xu vi yu vj zu vk uma funcao vetorial a valores vetoriais definida sobre uma regiao D do plano uv as funcoes componentes de r x y e z sao funcoes de duas variaveis u e v com domınio D O conjunto de todos os ponto x y z em R3 tal que x xu v y yu v z zu v com u v variando ao longo de D e chamado de superfıcie parametrizada S e as equacoes sao as equacoes parametricas de S Cada ponto u e v resulta em um ponto de S a medida que u v percorre todos os pontos do domınio D a ponta do vetor ru v traca a superfıcie S u v O D u v ruv S x y z Figura 1a Figura 1b Exemplo Identifique e esboce a superfıcie com equacao vetorial ru v 2 cos ui vj 2sen uk Solucao As equacoes parametricas para essa superfıcie sao x 2 cos u y v z 2sen u 1 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE x y z Figura 2 podemos observar que para qualquer ponto x y z da superfıcie x2 z2 2 cos u2 2sen u2 4 portanto a intersecao dessa superfıcie com qualquer plano paralelo ao plano xz e sempre uma circun ferˆencias de raio 2 Como y v e nao existe restricao ao valor de v a superfıcie em questao e um cilindro circular de raio 2 cujo eixo e o eixo y Nesse exemplo nao foi colocada restricoes nos valores dos parˆametros u e v mas podemos observar que basta tomarmos valores de 0 u 2π e v R para obtermos o cilindro inteiro uma vez que as funcoes cos u e sen u sao funcoes periodicas de perıodo 2π Se restringirmos os valores de u e v como por exemplo 0 u π2 0 v 3 obtemos apenas a parte do cilindro no primeiro octante e com comprimento igual a 3 x y z Figura 3 Considere uma superfıcie parametrizada S descrita pela funcao vetorial ru v podemos olhar para a famılia de curvas contidas em S que consiste das curvas espa ciais onde u e constante por exemplo fazendo u u0 a funcao vetorial ru0 v define um curva C1 sobre S Tambem podemos olhar para famılia de curvas contidas em S que consiste das curvas quando mantemos v cons tante se fizermos v v0 obtemos a curva C2 Figura 4b dada por ru v0 Essas curvas sao chamadas de cur vas de grade e geralmente sao usadas quando fazemos o grafico de uma superfıcie parametrizada em um com putador como no exemplo as seguir 2 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE u0 v0 O D u v C1 C2 S x y z Figura 4a Figura 4b Exemplo Trace o grafico da superfıcie ru v 2 senv cos u 2 senvsen u u cos v x y z Solucao Tracando o grafico com os parˆametros delimitados por 0 u 4π e 0 v 2π pode mos observar que a superfıcie tem a aparˆencia de um tubo espiral Esse comportamento e esperado pois olhando para as curvas de grade dessa superfıcie ob servamos que se v v0 e constante temos x 2senv0 cos u y 2senv0sen u z ucos v0 que lembra as equacoes parametricas de uma helice E considerando u u0 temos x 2senv cos u0 y 2senvsen u0 z u0cos v que lembram equacoes de cırculos considere o caso u0 0 x 2 senv y 0 z cos v nesse caso temos a equacao de um cırculo no plano xz de centro 2 0 0 e raio 1 Na figura 2 mostramos as linhas de grade dessa superfıcie Exemplo Determine a funcao vetorial que representa o plano que passa pelo ponto P0 com vetor posicao r0 e que contenha dois vetores nao paralelos a e b 3 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Solucao Considere P um ponto qualquer desse plano podemos ir P0 ate P movendo um certa distˆancia na direcao de a seguido de um outra distˆancia na direcao de b Isso significa que existem escalares u e v tal que P0P ua b Se r e o vetor posicao de P temos r OP0 P0P r0 ua vb Logo a equacao vetorial do plano pode ser escrita como ru v r0 ua vb Se r0 x0 y0 z0 a a1 a2 a3 e b b1 b2 b3 temos as seguinte equacoes pa rametricas para o plano x x0 ua1 vb1 y y0 ua2 vb2 z z0 ua3 vb3 Exemplo Determine um representacao parametrizadas da esfera x2 y2 z2 a2 Solucao Em coordenadas esfericas temos que a representacao de uma esfera de raio a e centro na origem e simplesmente ρ a portanto se escolhermos os ˆangulos φ e θ como parˆametros e fixarmos ρ a nas equacoes para mudanca de coordenadas esfericas para retangulares obtemos x asen φ cos θ y asen φsen θ z a cos φ para as equacoes parametricas de uma esfera Temos que 0 φπ e 0 θ 2π Com essa parametrizacao as curvas de grade para φ constante sao as circunferˆencias de latitude constante e as curvas de grade para θ constante sao os meridianos Em geral existem diversas parametrizacoes distintas para uma dada superfıcie Para a esfera poderıamos parametrizala usando como parˆametros as coordenadas x e y e explicitando a z na equacao x2 y2 z2 a2 no entanto essa parametrizacao e menos natural e complica em demasia a descricao da esfera Exemplo Determine um representacao parametrizada do cilindro x2y2 4 0 z 1 Solucao O cilindro em coordenadas cilındricas e representado por r 2 portanto isso no sugere a usar como parˆametros as coordenadas θ e z do sistema de coordenadas cilındricas Dessa forma temos as seguinte equacoes parametricas para o cilindro x 2 cos θ y 2sen θ z z onde 0 θ 2π e 0 z 1 Exemplo Determine um funcao vetorial para o paraboloide elıptico z x2 2y2 4 R Falcao Calculo II UFSJCAPERE Soluc4o Se usarmos como pardmetros as coordenas x e y obtemos as as equacdes paramétricas 2 2 XX yy Zx2y e portanto a equacao vetorial é rx y xi yj GP 2y2k Esse exemplo nos mostra que uma superficie dada como o grafico de um funao de xe yie dada por z fx y sempre pode ser vista como uma superficie parametrizada usando x e y como parametros e escrevendo as equag6es paramétricas como xX yoy z fy Exemplo Determine um representacgAo parametrizada para superficie z 2 x y Solucao JA vimos que é possivel representar essa superficie escolhendo x e y como parametros xX yy Z2yxry outra parametrizagao para o cone que pode ser preferivel em algumas situagoes é obtida escolhendo as coordenadas polares r e como parametros Um ponto x y z sobre 0 cone satisfaz as equacgdes x rcos y rsende z 2x7 y 2r Dessa forma temos a seguinte equacao vetorial para o cone rr 9 rcos Gi rsen 6j 27k 5 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Superfıcies de Revolucao As superfıcies de revolucao admitem uma parametrizacao relativamente simples Con sidere o superfıcie de revolucao obtida pela rotacao da curva y fx a x b em torno de eixo x Se θ for o ˆangulo de rotacao e facil ver figura 6 que se x y z e um ponto de S entao x x y fx cos θ z fxsen θ fx fx θ x y z essas equacoes podem ser interpretadas como as equacoes parametricas da superfıcie onde usamos os parˆametros x e θ com a x b 0 θ 2π x y z Figura 6 Exemplo Encontre as equacoes parametricas para a su perfıcie gerada pela rotacao da curva y sen x 0 x 2π em torno do eixo x Faca o grafico dessa su perfıcie Solucao As equacoes parametricas sao dadas por x x y sen x cos θ z sen xsen θ onde 0 x 2π 0 θ 2π O grafico e apresentado na figura 7 6 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Essa ideia pode ser facilmente adaptada para representar uma superfıcie obtida pela revolucao em torno do eixo y ou do eixo z Planos Tangetes Considere uma superfıcie parametrizada representada pela funcao vetorial ru v xu vi yu vj zu vk vamos determinar o plano tangente a essa superfıcie em um ponto P0 com vetor posicao ru0 v0 Se mantivermos u u0 constante a funcao vetorial ru0 v representa uma curva de grade C1 em S O vetor tangente a C1 no ponto P0 e dado por rv x vu0 v0i y vu0 v0j z vu0 v0k da mesma forma se mantivermos v v0 temos a curva de grade C2 dada por ru v0 cujo o vetor tangente em P0 e ru x uu0 v0i y uu0 v0j z uu0 v0k Se ru rv nao e 0 entao a superfıcie e dita suave e o plano tangente e o plano que contem os vetores tangentes ru e rv portanto ru rv e o vetor normal ao plano tangente Exemplo Determine o plano tangente a superfıcie com equacoes parametricas x u2 y v2 z u 2v no ponto 1 1 3 Solucao Calculando os vetores tangentes temos ru 2ui k rv 2 jj 2k O vetor normal ao plano tangente e ru rv 2vi 4uj 4uvk O ponto 1 1 3 corresponde aos valores dos parˆametros u 1 e v 1 portanto o vetor normal ao plano tangente e dado por n 2i 4j 4k Logo o plano tangente tem equacao 2x 1 4y 1 4z 3 0 x 2y 2z 3 0 7