Teorema de Stokes: Relações e Aplicações em Cálculo

R Falcao Calculo II UFSJCAPERE Teorema de Stokes O teorema de Stokes relaciona uma integral de superficie sobre uma superficie com uma integral em torno da curva da fronteira de S portanto ele é uma versao em dimensao maior do Teorema de Green Teorema de Stokes Seja S uma superficie orientada suave por partes cuja fron teira é formada por uma curva C fechada simples suave por partes com orientacgao positiva Seja F um campo vetorial que tem componentes com derivadas parciais contfnuas em um regido aberta R que contém S entao ar orxeas Cc S a orientacgdo positiva da curva de fronteira C é induzida pela orientagao de S 1e se vocé andar na direcdo positiva ao redor da curva de fronteira com a a cabeca apontando para a mesma direcdo que o vetor n a superficie estara sempre 4 sua esquerda Muitas vezes usamos 0 simbolo 0S para denotar a curva de fronteira orientada positivamente da superficie orientada S Existe uma certa similaridade entre o Teorema de Stokes o de Green o Teorema fun damental das integrais de linha e 0 teorema fundamental do Calculo Repare que em todos estes teoremas existe um integral que envolve derivadas de um dos lados da equagao e no outro lado da igualdade s6 aparece os valores da fungao na fronteira Se olharmos para o caso especial do teorema de Stokes onde a superficie é plana e pertence ao plano xy se tomarmos k com o vetor normal unitdrio a integral de superficie se tranforma em um integral dupla ear vor as fv xr kaa Cc S S Essa é exatamente a forma vetorial do Teorema de Green portanto o Teorema de Green é um caso especial do Teorema de Stokes Exemplo Calcule f F dr onde Fx y z yi xj 7k e C é acurva da intersecao do plano y z 2 com o cilindro x y 1 C considere que C esta orientada no sentido antihorario quando vista de cima Solucao A curva C é uma elipse é possivel executar diretamente a integral de linha no entanto é mais simples se aplicarmos o Teorema de Stokes Calculando VxF12yk 1 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE Existem diversas superficies que possuem a curva C como fronteira portanto iremos fazer a escolha mais conveniente que é considerar S como a regido eliptica S no plano y z 2 que tem C como fronteira Orientando S para cima C tera a orientagao positiva induzida por S A projecao de S no plano xy é u disco de raio 1 e centro na origem portanto Pear vxas fa 21 Cc s D 27 1 1 2rsen 6rdrd x 0 0 Exemplo Use o Teorema de Stokes para calcular a integral ff fs VxFdS onde Fx y z xzit yzjxyke S éa parte da esfera x y 2 4 que esta dentro do cilindro x y 1 e acima do plano xy Solucao Para encontrar a curva de fornteira C basta olharmos para a intersegao da esfera com 0 cilindro Subtraindo a equacdo x y 1 da equacio x7 2 4 obtemos z 3 portanto C é 0 circulo dada pelas equagées x y 1 z V3 que pode ser representando pela fungao vetorial rt cos fi sentj V3k Ot2zn Logo Frt V3 cos ti V3sen tj V3 cos tsen tk aplicando o Teorema de Stokes temos 27 vxP4s wears Fra rOdt S C 0 27 V3 cos tsent V3sen t cos t dt 0 0 Observe que no exemplo anterior usamos apenas os valores de F na fronteira C isso quer disse que se tivermos duas superficies orientada com a mesma fronteira iremos obter o mesmo valor para a integral de superficie Portanto f vxEds Far ff VxFdS S1 Cc So Podemos usar essa fato para trocar uma superficie complicada por uma mais facil na hora de fazer a integral 2 R Falcao Calculo III UFSJCAPERE O Teorema de Stokes pode ser usado para dar um interpretaao ao rotacional Suponha que C seja um curva fechada orientada e v represente 0 campo de velocidade de um fluido Considere a integral de linha var vtas Cc Cc o produto v T nos da a componente do vetor v na direcao do vetor tangente unitario T Isso significa que quanto mais proxima a direcdo de v esta da direcdo de T maior o valor desse produto Assim a integral f vdr pode ser interpretada como a tendéncia do fluido se mover em torno de C e é chamada de circulagao de v em torno de C Agora tome um ponto PoX0 Yo Zo no fluido e chame de S um pequeno disco de raio a centrado em Po Agora podemos aproximar o rotacional em qualquer ponto P do disco por V x FP V x FP9 uma vez que o rotacional é continuo e podemos tomar a téo pequeno quanto desejado Aplicando o Teorema de Stokes temos vdr f VxvdS Ca Sa PS Vx WPnPodS V X vP nPoaa Sa Essa aproximagao se torna melhor quando a 0 e portanto 1 V xX wWP nPo lim vdr a0 7a Ca A equacao acima fornece uma relacao entre o rotacional e a circulagdo ScoV x FO0a circulagéo também é zero além disse a circulagao é maxima se n estiver na mesma direAo e sentido do rotacional 3