Operadores Diferenciais: Gradiente e Rotacional em Campos Vetoriais

H Lemos Calculo HI UFSJCAPERE Rotacional e divergente Nesta aula definiremos duas operagoes que podem ser ralizadas em um campo ve torial e suas interpretacoes Como essas operacoes envolvem derivadas chamaremos cada uma delas de um operador diferencial O gradiente como operador diferencial Se f é uma funcao de trés varidveis e suas derivadas parciais sao continuas em uma regiado aberta contendo o ponto xyz entaao o campo vetorial gradiente de f e dado por Of Of Of radfzyz Vfayz ijk 1 gradfxy 2 VFxy2 5 ayit dz 1 Ja conhecemos o gradiente e sua interpretacao temos que chamar a atencao a dois aspectos aqui 1 O gradiente é um operador diferencial Ele opera em fungoes escalares tendo como saida um campo vetorial e essa operacao envolve derivadas de f 2 Vamos definir o operador diferencial V chamado del ou nabla como O O O V i j k 2 ar Oy Oz 2 A primeira vista é costume estranharmos a definigéo do operador V em 2 mas ele faz sentido quando atua em alguém Por exemplo quando V opera em uma fungao escalar f obtemos o gradiente de f como visto em 1 Vejamos agora outros usos do operador O rotacional de um campo vetorial Definigao Seja F Pi Qj Rk onde PQ e R tem derivadas parciais de primeira ordem continuas entao o rotacional de um campo vetorial F em R é OR OQ OP OR OQ OP rot Fz yz i jk 3 792 F i F 3 1 H Lemos Calculo HI UFSJCAPERE A primeira observacao é que o rotacional atual em campo vetorial F em R tendo como resultado um outro campo vetorial em R o campo rot F Depois podemos ver que o modo mais facil de lembrar a formula do lado direito da equacao 3 é atuando o operador V definido em 2 no campo vetorial F através de um produto vetorial ij k 0 dO O VxF Ox Oy Oz P Q R OR OQ OP OR OQ OP 2 ve krotF 5 rit 5 mit 3 ms Portanto podemos expressar a equacao 3 como rotFV xF Teorema 1 Se f é uma fungao de trés varidveis que tem derivadas parciais de segunda ordem continuas entao rot grad f xyz 0 4 Demonstragao Temos i j k 0 dO oO rotgradf VxVfdr dy dz Of Of of Ox Oy Oz a a a a a a PL PI PL IY PL PF ig OyOz OzOy OzOx OxOdz OxOy OyOx pelo teorema de Clairaut O Como um campo vetorial conservativo é da forma F Vf entaéo podemos rees crever o teorema 1 como Se F é conservativo entao rot F 0 2 H Lemos Calculo HI UFSJCAPERE Vamos enunciar agora a reciproca do teorema 1 sua demosntragao ficara para mais tarde Teorema 2 Se F for um campo conservativo definido sobre um regiao aberta simplesmente conexa e se suas componentes tiverem derivadas parciais continuas e se for rot F 0 entao F é um campo conservativo Este teorema nos apresenta uma maneira facil de determinarmos se um campo vetorial em R é conservativo Na verdade considerando os teoremas 1 e 2 podemos enunciar a equivalénca das condigoes Teorema 3 Se F for um campo conservativo definido sobre um regiao aberta simplesmente conexa D e se suas componentes tiverem derivadas parciais continuas entao sao equivalentes na regiao D i F é conservativo ie existe uma fungao escalar f tal que Vf F ii F dr independe do caminho C C iii F dr 0 para todo caminho C simples fechado C iv rovF 0 O divergente de um campo vetorial Definigao Seja F Pi Qj Rk onde PQ e R tem derivadas parciais de primeira ordem continuas entéo o divergente de um campo vetorial F em R é OP OQ OR div Fz y z 5 ty 2 5 By Os 5 O divergente assim como o rotacional atua em um campo vetorial F em R porém como resultado obtemos uma fungao escalar de trés varidveis Se o operador 3 H Lemos Calculo HI UFSJCAPERE V operar no campo vetorial F através de um produto escalar obtemos O O O VF i j5 k PiQjRk iz 35 i Qjt OP OQ OR 44 divF Ox Oy Oz v Assim podemos escrever a equacao 5 como divF VF Teorema 2 Se F é umcampo vetorial sobre R cujas componentes PQ e R tem derivadas parciais de segunda ordem continuas entao div rot F xy z 0 6 Demonstragao Temos divrotF VVxF Oo OR OQ 9 OP OR oO OQ OP Ox Oy Oz Oy Oz Ox Oz Or Oy OR 0Q 4 0 P OR 4 0Q OPP 0 OxOy OxdOz OyOz OyOx OAzOx Ozdy novamente pelo teorema de Clairaut O OBSERVAGAO Nas equacées 4 e 6 estamos compondo dois operadores diferenciais e eles estao bem definidos Entretanto ha que se tomar cuidado com tais composigoes por exemplo nao é possivel calcular o rot div F pois esta qunatidade nao esta bem definida Com efeito podemos calcular div F mas este é uma funcgao escalar portanto nao podemos calcular o rotacional do mesmo O laplaciano Usando nossos operadores ja conhecidos podemos definir um novo e muito im portante operador diferencial Seja f uma funcao escalar de trés varidveis entao Of Pf Of div grad f V Vf 922 Oye ae 4 H Lemos Calculo III UFSJCAPERE Este operador e tao frequente que vamos definilo a seguir Definicao Seja f fnuncao escalar de trˆes variaveis com derivadas parciais de segunda ordem contınuas definimos o laplaciano ou operadr de Laplace como 2fx y z 2f x2 2f y2 2f z2 7 OBS a notacao 2f vem do fato do laplaciano ser o divergente do gradiente ou seja 2 O laplaciano tambem pode atuar em um campo vetorial F P i Q j R k operando em cada uma de suas componentes a saber 2F 2P i 2Q j 2R k 5