Exercícios Resolvidos de Cálculo Integral - Volume, Massa e Coordenadas

1ª Questão Uma piscina de profundidade constante de 20m e tem um contorno que pode ser representado pela região R Determine o volume da piscina sabendo que R é delimitado pela curva 4x² y² 16 se y 0 e pelas retas y 8 4x y 8 4x 2ª Questão Resolva a integral ₁¹ 1y²⁰ lnx² y² 1dxdy 3ª Questão Ache o volume do sólido delimitado pelos planos z 4 z 4 x 0 y 0 e pelo cilindro 4x² y² 4 4ª Questão A densidade de um cilindro de raio a é dada por ρ 1 er3a em coordenadas cilíndricas Ache a massa do sólido sabendo que a altura é de 2m e o raio de 12m e a massa é dada por M ₑ ρdV 5ª Questão Ache ₑ ex²y²z²32 dV onde E é a esfera de raio 3 e centro na origem 6ª Questão apenas para quem for fazer substitutiva A posição de uma partícula é dada por r t² 2t 9t² ache o comprimento do arco percorrido pela partícula no intervalo de tempo 01 sendo que C ₐᵇ d r dt dt 1 Solução Esboçando a região R Se V é o volume da piscina com profundidade fxy 2 segue que V ᴿ fxy dA ᴿ 2dA 2ᴿ dA 2áreaR onde áreaR é o resultado da soma da área do triângulo delimitado por y0 e as retas y84x y84x com a área da metade de região elíptica 4x² y² 16 y 0 Logo V2482π2422164π8π32 m³ from 1 to 1 from 0 to 1y² lnx² y² 1 dx dy from π2 to π2 from 0 to 1 r lnr² 1 dr dθ from π2 to π2 lnr² 12 from 0 to 1 dθ from π2 to π2 ln2 ln12 dθ ln22 from π2 to π2 dθ ln22 π2 π2 π ln22 3 Solução Seja E o sólido em questão Esboço do E Note que a projeção no plano xy é a região R dada por 4x² y² 4 com xy 0 Se V é o volume de E vem que V 1 dV from 4 to 4 1 dz dx dy 8 dx dy 8 dx dy 8 áreaR 8 π 1 24 16π4 4π uv 4 Solução Nas coordenadas cilíndricas temos 0 z 2 0 r 12 e 0 θ 2π Logo como ρ 1 er23 1 e2r3 obtemos M E ρ dV from 0 to 2π from 0 to 12 from 0 to 2 1 e2r3 dz dr dθ 2π from 0 to 12 1 e2r3 2 dr 4π from 0 to 12 1 e2r3 dr 4π r 32 e2r3 from 0 to 12 4π 12 32 e13 0 32 e0 4π 12 32 e13 32 4π 32 e13 1 um 5 Solução Usando coordenadas esféricas x ρ cosθ sinφ y ρ sinθ sinφ z ρ cosφ 0 ρ 3 0 φ π 0 θ 2π e xyzρφθ ρ² sinφ Logo E ex² y² z²32 dV from 0 to 2π from 0 to π from 0 to 3 eρ³ ρ² sinφ dρ dφ dθ 2π from 0 to π from 0 to 3 ρ² eρ³ sinφ dρ dφ 2π from 0 to π eρ³3 sinφ from 0 to 3 dφ 2π3 from 0 to π e27 e0 sinφ dφ 1e27 2π3 from 0 to π sinφ dφ 1e27 2π3 cosφ from 0 to π 1e27 2π3 cosπ cos0 4 1e273 π b Solução Sendo r t² 2t 9t² temos drdt 2t 2 18t e vem que drdt 4t² 4 324t² 328t² 4 482t² 1 282t² 1 Logo C ₀¹ 282t² 1 dt Fazendo t tgθ82 temos dt sec²θ82 dθ Daí 82t² 1 dt 82tg²θ82 1 sec²θ82 dθ tg²θ 1sec²θ sec²θ82 dθ 182 sec³θ dθ 182 12 secθ tgθ 12 lnsecθ tgθ k De tgθ 82t vem que 82t 82t² 1 Secθ 82t² 1 Logo C 282 12 82t 82t² 1 12 ln82t² 1 82t₀¹ 182 82 83 ln83 82 0 ln1 83 ln83 8282 uc