Integral de Superfície: Definição e Cálculo

H Lemos Calculo HI UFSJCAPERE Integrais de superficie Nesta aula definiremos a integral de superficie de uma funcao escalar de trés varidveis estendendo o que foi feito na aula anterior Definicao Seja S uma superficie parametrizada pela funcao vetorial r a dois parametros ruv uv it uv j zuv k com uv D no plano wv Seja fxy z uma fungao de trés varidveis definida em um dominio em R que contenha a superficie S A ideia é a mesma da aula passada para o calculo de areas de superficie Particionamos o dominio D no plano wv porém em cada ponto amostral iremos avaliar a funcgao f conforme figuras abaixo v Ry BRS xZ iL PRESS PAY Z ATX Y rt U Figura la Figura 1b No plano wv Figura la nds dividimos a regiao D em pequenos retaéngulos R cada um deles com area AA AuAv e em cada um escolhemos um ponto amostral u7v A imagem desse ponto pela fungao vetorial r é 0 ponto P dado por Pr xuk uF yuz v4 zu vs Assim iremos avaliar fP5 em cada retangulo Ri e efetuar a soma de Riemann So So SPHASi i1 jl 1 H Lemos Calculo II UFSJCAPERE Caso o limite exista definiremos nossa integral de superficie Definigao A integral de supeficie da fungao f na superficie S é definida por f ten28 lim SY HP ASy 1 S mnco jl jal caso o limite exista Lembrando que na ultima aula vimos que a area de cada elemento de superficie é AS Ilr x rAA entao segue que I fxy z dS I fruv lru x ry dA 2 Ss D Quando a superficie é o grafico de uma funcao Suponha que a superficie S é o grafico de z gxy com xy D Entaéo podemos usar as proprias varidveis x e y como parametros rvy rityjtgzyk Logo temos que OZ OZ Oz Oz re ita k ty Jt Ke te xty ai ak e portanto Ir x ry Oz my Oz 4 ry X Yy y Ox Oy Nossa integral fica dz dz dS 1 dA 3 f seme flexseny 5 3 Caso S seja por exemplo dada pelo grafico de x hy z teremos trivialmente dx dx dS h 1 dA 4 fewaas f rtu2nay r SF S 4 2