Prova de Cálculo - Derivação, Limites e Integrais

QUESTÕES QUESTÃO 1Valor 20 pontos Considere o exercício 8 da lista 9 cujo enunciado é reproduzido abaixo Esboce o gráfico da função dada seguindo os seguintes PASSOS a Ache o domínio da função desnecessário o domínio do item a seguir é real b Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento máximos e mínimos locais c Determine as concavidades e os pontos de inflexão d Calcule os limites no infinito necessários e Faça uma tabela f Esboce o gráfico Pedese para o aluno seguir os passos acima e esboçar o gráfico da função do item d d fx 2x3 3x2 12x 5 Para o esboço gráfico o aluno pode utilizar um programa gráfico imprimir e colar no papel Só serão considerados os exercícios com os desenvolvimentos dos PASSOS b c d e e f QUESTÃO 2 Valor 20 pontos Derive e simplifique as funções abaixo indicando os passos e simplificações 1 fx e4x e6x e2x 4e3x 2 2 fx e2x e2x e2x e2x 3 fx ln 515x 5x1 4 fx ln 1 x3 3x 13 QUESTÃO 3 Valor 10 ponto Calcule os limites a lim x 2x 3x5 x2 4x7 b lim x 2 3x8 1 x4 x5 c lim x 2 6x3 1 x4 2x3 d lim x1 2x x2 1 QUESTÃO 4 Valor 50 pontos Resolva as integrais indicando os passos e simplificações respostas sem os passos e simplificações serão consideradas erradas 1 Calcule a integral 20 pontos a 5x4 x3 6x2 3x 4 dx b x3 x dx c x2 1 x2 dx d xx ³x dx Sugestão Escreva a expressão xx ³x na forma de uma potência com base x 2 Calcule a integral usando o método da substituição 20 pontos a 1 3x 1 dx b x2 x5 2x 1 dx c x ex2 3 dx d 1 2x 1 dx 3 Calcule a integral definida 10 ponto a ₁4 1 x dx b ₁2 1 x2 dx c ₁e 1 x dx d ₁2 x2 1 dx 3 fx ln 515x5x1 4 fx ln 1 x3 3x 13 QUESTÃO 3 Valor 10 ponto Calcule os limites a lim x 2x 3x5 x2 4x7 b lim x 2 3x8 1 x4 x5 c lim x 2 6x3 1 x4 2x3 d lim x1 2x x2 1 QUESTÃO 4 Valor 50 pontos Resolva as integrais indicando os passos e simplificações respostas sem os passos e simplificações serão consideradas erradas 1 Calcule a integral 20 pontos a 5x4 x3 6x2 3x 4 dx b x3 x dx c x2 1 x2 dx d xx ³x dx Sugestão Escreva a expressão xx ³x na forma de uma potência com base x 2 Calcule a integral usando o método da substituição 20 pontos a 1 3x 1 dx b x2 x5 2x 1 dx c x ex2 3 dx d 1 2x 1 dx 3 Calcule a integral definida 10 ponto a ₁4 1 x dx b ₁2 1 x2 dx c ₁e 1 x dx d ₁2 x2 1 dx 1 b Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento máximos e mínimos locais Para crescimento 𝑓𝑥 0 e para decrescimento 𝑓𝑥 0 𝑓𝑥 6𝑥2 6𝑥 12 Resolvendo temos Dessa forma 𝑓 é crescente para 𝑥𝜖 2 1 e decrescente para 𝑥𝜖21 Máximos e mínimos locais 𝑓𝑥 0 𝑓𝑥 0 6𝑥2 6𝑥 12 0 As raízes de fx são x1 2 e x2 1 Avaliando fx em x1 2 e x2 1 temos f2 15 e f1 12 Dessa forma x 2 é um máximo local e x 1 é um mínimo local c Determine as concavidades e os pontos de inflexão Concavidade para cima 𝑓𝑥 0 e concavidade para baixo 𝑓𝑥 0 𝑓𝑥 0 12𝑥 6 0 12𝑥 6 𝒙 𝟏 𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒎𝒂 𝑓𝑥 0 12𝑥 6 0 12𝑥 6 𝒙 𝟏 𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐 Ponto de inflexão 𝑓𝑥 0 𝑓𝑥 0 12𝑥 6 0 12𝑥 6 𝒙 𝟏 𝟐 d Calcule os limites no infinito necessários lim 𝑛 2𝑥3 3𝑥3 12𝑥 5 lim 𝑛 2𝑥3 3𝑥3 12𝑥 5 e Faça uma tabela x fx 4 37 3 4 2 15 0 5 1 12 3 40 f Esboce o gráfico 2 a 𝑓𝑥 𝑒4𝑥 𝑒6𝑥 𝑒2𝑥 4𝑒3𝑥 2 𝑓𝑥 1 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑒4𝑥 𝑒6𝑥 𝑒2𝑥 4𝑒3𝑥 1 2 4𝑒4𝑥 6𝑒6𝑥 2𝑒2𝑥 4 3𝑒3𝑥 1 2 4𝑒4𝑥 6𝑒6𝑥 2𝑒2𝑥 12𝑒3𝑥 𝒇𝒙 𝟐𝒆𝟒𝒙 𝟑𝒆𝟔𝒙 𝒆𝟐𝒙 𝟔𝒆𝟐𝒙 b 𝑓𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥2 2𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥2 2𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥2 2𝑒4𝑥 2𝑒0 2𝑒0 2𝑒4𝑥 2𝑒4𝑥 2𝑒0 2𝑒0 2𝑒4𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥2 2𝑒4𝑥 2 2 2𝑒4𝑥 2𝑒4𝑥 2 2 2𝑒4𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥2 𝒇𝒙 𝟖 𝒆𝟐𝒙 𝒆𝟐𝒙𝟐 c 𝑓𝑥 ln 1 5𝑥 5𝑥 1 5 ln 1 5𝑥 5𝑥 1 1 5 1 5 ln 1 5𝑥 5𝑥 1 𝑓𝑥 1 5 ln1 5𝑥 ln5𝑥 1 𝑓𝑥 1 5 𝑑 𝑑𝑥 ln1 5𝑥 𝑑 𝑑𝑥 ln5𝑥 1 1 5 1 1 5𝑥 𝑑 𝑑𝑥 1 5x 1 5𝑥 1 𝑑 𝑑𝑥 5𝑥 1 1 5 5 1 5𝑥 5 5𝑥 1 1 1 5𝑥 1 5𝑥 1 5𝑥 1 1 5𝑥 1 5𝑥5𝑥 1 2 1 25𝑥² 𝒇𝒙 𝟐 𝟐𝟓𝒙𝟐 𝟏 d 𝑓𝑥 ln 1 𝑥3 1 3𝑥 3 3 ln 1 𝑥3 1 3𝑥 𝑓𝑥 3 ln1 𝑥3 ln1 3𝑥 𝑓𝑥 3 𝑑 𝑑𝑥 ln1 𝑥3 𝑑 𝑑𝑥 ln1 3𝑥 3 1 1 𝑥³ 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥³ 1 1 3𝑥 𝑑 𝑑𝑥 1 3𝑥 3 3𝑥² 1 𝑥³ 3 1 3𝑥 9𝑥² 1 𝑥³ 9 1 3𝑥 9𝑥21 3𝑥 9 1 𝑥3 1 𝑥31 3𝑥 9𝑥2 27𝑥3 9 9𝑥³ 1 𝑥31 3𝑥 𝒇𝒙 𝟏𝟖𝒙𝟑 𝟗𝒙𝟐 𝟗 𝟏 𝒙𝟑𝟏 𝟑𝒙 3 a lim 𝑥 2𝑥 3𝑥5 1 𝑥7 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥2 4𝑥7 1 𝑥7 lim 𝑥 2 𝑥6 3 𝑥² 1 𝑥5 4 lim 𝑥 2 𝑥6 lim 𝑥 3 𝑥² lim 𝑥 1 𝑥5 lim 𝑥4 Como limite fundamental lim 𝑥 1 𝑥𝑛 0 para 𝑛 0 Logo lim 𝑥 2 𝑥6 lim 𝑥 3 𝑥² lim 𝑥 1 𝑥5 lim 𝑥4 0 0 0 4 0 Portanto 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝟐𝒙 𝟑𝒙𝟓 𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟕 𝟎 b lim 𝑥 2𝑥 3𝑥8 1 𝑥4 1 𝑥2 𝑥4 1 𝑥4 lim 𝑥 2 𝑥4 3𝑥4 1 𝑥4 1 𝑥2 1 Como limite fundamental lim 𝑥 1 𝑥𝑛 0 para 𝑛 0 Logo lim 𝑥 2 𝑥4 lim 𝑥3𝑥4 lim 𝑥 1 𝑥4 lim 𝑥 1 𝑥2 lim 𝑥1 lim 𝑥3𝑥4 Analisando lim 𝑥3𝑥4 percebemos que ele cresce indefinidamente Portanto lim 𝑥 2 3𝑥8 1 𝑥2 𝑥4 lim 𝑥3𝑥4 c lim 𝑥 2 6𝑥3 1 𝑥4 1 𝑥4 2𝑥3 1 𝑥4 lim 𝑥 2 𝑥4 6 𝑥 1 𝑥4 1 2 𝑥 Como limite fundamental lim 𝑥 1 𝑥𝑛 0 para 𝑛 0 Logo lim 𝑥 2 𝑥4 lim 𝑥 6 𝑥 lim 𝑥 1 𝑥4 lim 𝑥1 lim 𝑥 2 𝑥 0 0 0 1 1 0 Portanto 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝟐 𝟔𝒙𝟑 𝟏 𝒙𝟒 𝟐𝒙𝟑 𝟎 d lim 𝑥1 2𝑥 𝑥2 1 lim 𝑥1 2𝑥 1 𝑥² lim 𝑥12𝑥 lim 𝑥11 lim 𝑥1𝑥² 2 1 lim 𝑥1𝑥² Como x é sempre menor que 1 então x² também será Portanto a diferença 1 lim 𝑥1𝑥² fica cada vez menor mas sempre maior que zero Tome 𝑎 1 lim 𝑥1𝑥2 podemos reescrever 2 1 lim 𝑥1𝑥² como 2 lim 𝑎0𝑎 Assim 2 lim 𝑎0𝑎 Logo 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟏 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝟏 4 41a 5𝑥4 𝑥3 6𝑥2 3𝑥 4𝑑𝑥 Pela propriedade de integrais 5𝑥4𝑑𝑥 𝑥3 𝑑𝑥 6𝑥2 𝑑𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 4 𝑑𝑥 5𝑥5 5 𝑥4 4 6𝑥3 3 3𝑥2 2 4𝑥 Logo 5𝑥4 𝑥3 6𝑥2 3𝑥 4𝑑𝑥 𝒙𝟓 𝒙𝟒 𝟒 𝟐𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝟐 𝟒𝒙 𝒄 41b 𝑥3 𝑥𝑑𝑥 𝑥3 𝑥 1 2𝑑𝑥 Pela propriedade de integrais 𝑥3𝑑𝑥 𝑥 1 2𝑑𝑥 𝑥4 4 2𝑥 3 2 3 Logo 𝒙𝟑 𝒙𝒅𝒙 𝒙𝟒 𝟒 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝒄 41c 2𝑥 1 𝑥² 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥² 1 𝑥2 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥 1 𝑥2 𝑑𝑥 Pela propriedade de integrais 2 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 2 ln𝑥 𝑥1 1 2 ln𝑥 1 𝑥 Logo 𝟐𝒙 𝟏 𝒙² 𝒅𝒙 𝟐 𝐥𝐧𝒙 𝟏 𝒙 𝒄 41d 𝑥𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 2 𝑥 1 3 𝑑𝑥 𝑥 3 2 𝑥 1 3 𝑑𝑥 𝑥 7 6𝑑𝑥 𝟔𝒙 𝟏𝟑 𝟔 𝟏𝟑 𝒄 42a 1 3𝑥 1 𝑑𝑥 Tome 𝑢 3𝑥 1 Então 𝑑𝑢 3𝑑𝑥 𝑑𝑢 3 𝑑𝑥 Assim 1 𝑢 𝑑𝑢 3 1 3 1 𝑢 𝑑𝑢 ln𝑢 3 𝐥𝐧𝟑𝒙 𝟏 𝟑 𝒄 42b 𝑥2 𝑥52𝑥 1𝑑𝑥 Tome 𝑢 𝑥2 𝑥 Então 𝑑𝑢 2𝑥 1𝑑𝑥 Assim 𝑢5 𝑑𝑢 𝑢6 6 𝒙𝟐 𝒙 𝟔 𝟔 𝒄 42c 𝑥𝑒𝑥23𝑑𝑥 Tome 𝑢 𝑥2 3 Então 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 𝑥𝑑𝑥 Assim 𝑒𝑢 𝑑𝑢 2 1 2 𝑒𝑢𝑑𝑢 1 2 𝑒𝑢 𝟏 𝟐 𝒆𝒙𝟐𝟑 𝒄 42d 1 2𝑥 1 𝑑𝑥 1 2𝑥 1 1 2 𝑑𝑥 2𝑥 11 2𝑑𝑥 Tome 𝑢 2𝑥 1 Então 𝑑𝑢 2𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 𝑑𝑥 Assim 𝑢1 2 𝑑𝑢 2 1 2 𝑢1 2𝑑𝑢 1 2 2 𝑢 1 2 𝟐𝒙 𝟏 𝟏 𝟐 𝒄 43a 1 𝑥 𝑑𝑥 4 1 1 𝑥 1 2 𝑑𝑥 𝑥1 2𝑑𝑥 2𝑥 4 1 4 1 1 4 24 21 4 2 𝟐 43b 1 𝑥² 𝑑𝑥 2 1 𝑥2𝑑𝑥 𝑥11 2 1 𝑥 1 2 2 1 1 2 1 1 𝟏 𝟐 43c 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 1 ln𝑥 1 𝑒 ln𝑒 ln1 1 0 𝟏 43d 𝑥2 1𝑑𝑥 2 1 𝑥2𝑑𝑥 1𝑑𝑥 𝑥³ 3 1 2 2 1 𝑥1 2 8 3 1 3 2 1 𝟔 2 1