Prova de Cálculo I - Limites, Continuidade e Aplicações

CÁLCULO I Nome Assinatura RA Observações Essa avaliação deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questões de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Respostas ilegíveis ou sem justificativas não serão consideradas válidas Questão 1 25 pontos Considere a função fx ³x⁶ 729 4x² 2x⁴ 64 a 05 pontos Encontre o maior subconjunto de R onde a função f está definida e diga para quais valores f é contínua Justifique sua resposta b 05 pontos Encontre lim x fx c 05 pontos Encontre lim x fx d 05 pontos Encontre todas as assíntotas verticais de f Se não houver nenhuma explique o porquê e 05 pontos Encontre todas as assíntotas horizontais de f Se não houver nenhuma explique o porquê Questão 2 20 pontos Prove que a equação 1x 1x² x x ³x possui pelo menos uma solução para x 0 Questão 3 20 pontos Considere um semicírculo de diâmetro AB centro O e raio 1cm O retângulo PQRS tem o lado PQ situado sobre o diâmetro do semicírculo OP OQ e os vértices R e S situados sobre o mesmo Calcule o maior valor possível para sua área Questão 4 10 ponto Verifique se a função fx x² 2x 1 x² 3x 2 2x 1 cos x 1 x 1 1 x 1 é contínua em x 1 Justifique sua resposta Questão 5 10 ponto Seja f definida em R tal que lim x 0 fxx 1 Calcule os seguintes limites i lim x 0 f3xx ii lim x 0 fx²x iii lim x 1 fx² 1x 1 iv lim x 0 f7x3x Questão 6 10 ponto Calcule caso exista Se não existir justifique a 05 pontos lim x 2 gx g2x 2 para gx x x 2 x²2 x 2 b 05 pontos lim x 1 senπxx 1 Questão 7 05 ponto Se f e g são funções contínuas com f3 5 e lim x 3 2fx gx 4 encontre g3 Questão 1 A Neste caso a função será contínua quando esta estiver bem definida Isto ocorre quando os termos dentro das raízes quadradas são não negativos e o denominador não se anula Ou seja 𝑥6 729 0 2𝑥4 64 0 4𝑥2 2𝑥4 64 0 Aqui como apenas potências pares de 𝑥 estão envolvidas vemos que as condições sempre são satisfeitas Logo 𝑓 é contínua para todo 𝑥 B e C Como 𝑓 só envolve potências pares de 𝑥 temos 𝑓𝑥 𝑓𝑥 logo lim 𝑥 𝑓𝑥 lim 𝑥 𝑓𝑥 lim 𝑥 𝑥6 729 1 3 2𝑥2 2𝑥4 64 Dividindo encima e embaixo por 𝑥2 obtemos lim 𝑥 𝑥6 729 1 3𝑥2 2 1 𝑥2 2𝑥4 64 lim 𝑥 1 729 𝑥6 1 3 2 2 64 𝑥4 1 0 1 3 2 2 0 1 1 3 2 2 𝟏 𝟐 𝟐 D A função não possui assíntotas verticais pois como já visto o denominador da função nunca se anula Logo 𝑓𝑥 não tende a infinito para nenhum valor de 𝑥 E As assíntotas horizontais são os valores de lim 𝑥 𝑓𝑥 e lim 𝑥 𝑓𝑥 Conforme já calculado temos assíntotas horizontais em 𝑦 1 22 Questão 2 Seja a seguinte função 𝑓𝑥 1 𝑥 1 𝑥2 𝑥 𝑥 1 2 𝑥 1 3 Logo queremos provar que é possível termos 𝑓𝑥 0 para algum valor de 𝑥 Primeiramente note que a função é contínua para 𝑥 deferente de zero Agora considere os seguintes resultados 𝑓 1 64 1 1 64 1 1 64 2 1 64 1 64 1 2 1 64 1 3 𝑓 1 64 64 642 1 64 1 8 1 4 𝑓 1 64 64 4096 1 64 8 64 16 64 𝑓 1 64 4160 25 64 𝑓 1 64 4160 64 25 64 𝑓 1 64 266215 64 𝑓1 1 1 1 12 1 1 1 2 1 1 3 𝑓1 1 1 1 1 1 𝑓1 1 Assim note que temos 𝑓 1 64 0 e 𝑓1 0 Logo deve haver pelo menos um valor 1 64 𝑥 1 tal que a equação possui uma solução Questão 3 Seja 𝜃 o ângulo 𝑅𝑂𝑄 Assim a área é dada por 𝐴 𝑃𝑄 𝑅𝑄 𝐴 2𝑅𝑂 cos 𝜃 𝑅𝑂 sin𝜃 𝐴 2 cos𝜃 sin 𝜃 𝐴 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝐴 sin2𝜃 Mas a função seno é máxima quando o seu argumento vale 𝜋 2 Logo 𝐴 sin 𝜋 2 𝑨 𝟏 𝒄𝒎𝟐 Questão 4 Para que a função seja contínua neste ponto devemos ter lim 𝑥1 𝑓𝑥 𝑓1 1 Calculando obtemos lim 𝑥1 𝑓𝑥 lim 𝑥1 𝑥2 2𝑥 1 𝑥2 3𝑥 2 2𝑥 1 cos𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 12 𝑥 1𝑥 2 2𝑥 1 cos𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 12 𝑥 1𝑥 2 2𝑥 1 cos𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1 𝑥 1𝑥 2 2𝑥 1 cos𝑥 1 lim 𝑥1 1 𝑥 2 2 cos𝑥 1 1 1 2 2 cos1 1 1 1 2 1 1 Logo a função realmente é contínua em 𝑥 1 Questão 5 i Temos lim 𝑥0 𝑓3𝑥 𝑥 3 lim 𝑥0 𝑓3𝑥 3𝑥 3 lim 𝑦0 𝑓𝑦 𝑦 3 1 𝟑 ii Temos lim 𝑥0 𝑓𝑥2 𝑥 lim 𝑥0 𝑥 𝑓𝑥2 𝑥2 lim 𝑥0 𝑥 lim 𝑥0 𝑓𝑥2 𝑥2 lim 𝑥0 𝑥 lim 𝑦0 𝑓𝑦 𝑦 0 1 𝟎 iii Temos lim 𝑥1 𝑓𝑥2 1 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1𝑓𝑥2 1 𝑥 1𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1𝑓𝑥2 1 𝑥2 1 lim 𝑥1𝑥 1 lim 𝑥1 𝑓𝑥2 1 𝑥2 1 lim 𝑥1𝑥 1 lim 𝑦0 𝑓𝑦 𝑦 2 1 𝟐 iv Temos lim 𝑥0 𝑓7𝑥 3𝑥 7 3 lim 𝑥0 𝑓7𝑥 7𝑥 7 3 lim 𝑦0 𝑓𝑦 𝑦 𝟕 𝟑 Questão 6 A Temos lim 𝑥2 𝑔𝑥 𝑔2 𝑥 2 lim 𝑥2 𝑥2 2 2 𝑥 2 1 2 lim 𝑥2 𝑥2 4 𝑥 2 1 2 lim 𝑥2 𝑥 2𝑥 2 𝑥 2 1 2 lim 𝑥2𝑥 2 1 2 2 2 𝟐 B lim 𝑥1 sin𝜋𝑥 𝑥 1 Seja 𝑥 𝑦 1 assim temos lim 𝑦0 sin𝜋𝑦 1 𝑦 lim 𝑦0 sin𝜋𝑦 𝜋 𝑦 lim 𝑦0 sin𝜋𝑦 cos𝜋 sin𝜋 cos𝜋𝑦 𝑦 lim 𝑦0 sin𝜋𝑦 1 0 cos𝜋𝑦 𝑦 lim 𝑦0 sin𝜋𝑦 𝑦 𝜋 lim 𝑦0 sin𝜋𝑦 𝜋𝑦 𝜋 lim 𝑥0 sin 𝑥 𝑥 𝝅 Questão 7 Como as funções são contínuas temos lim 𝑥32 𝑓𝑥 𝑔𝑥 4 lim 𝑥32 𝑓𝑥 lim 𝑥3𝑔𝑥 4 2 lim 𝑥3𝑓𝑥 lim 𝑥3𝑔𝑥 4 2𝑓3 𝑔3 4 2 5 𝑔3 4 10 𝑔3 4 𝑔3 6 𝒈𝟑 𝟔 Questão 1 A Neste caso a função será contínua quando esta estiver bem definida Isto ocorre quando os termos dentro das raízes quadradas são não negativos e o denominador não se anula Ou seja x 67290 2 x 4640 4 x 22 x 4640 Aqui como apenas potências pares de x estão envolvidas vemos que as condições sempre são satisfeitas Logo f é contínua para todo x B e C Como f só envolve potências pares de x temos f x f x logo lim x f x lim x f x lim x x 6729 1 3 2x 22x 464 Dividindo encima e embaixo por x 2 obtemos lim x x 6729 1 3 x 2 2 1 x 2 2 x 464 lim x 1729 x 6 1 3 2 2 64 x 4 10 1 3 220 1 1 3 22 1 22 D A função não possui assíntotas verticais pois como já visto o denominador da função nunca se anula Logo f x não tende a infinito para nenhum valor de x E As assíntotas horizontais são os valores de lim x f x e lim x f x Conforme já calculado temos assíntotas horizontais em y 1 22 Questão 2 Seja a seguinte função f x 1 x 1 x 2xx 1 2x 1 3 Logo queremos provar que é possível termos f x 0 para algum valor de x Primeiramente note que a função é contínua para x deferente de zero Agora considere os seguintes resultados f 1 64 1 1 64 1 1 64 2 1 64 1 64 1 2 1 64 1 3 f 1 646464 2 1 64 1 8 1 4 f 1 64644096 1 64 8 6416 64 f 1 64416025 64 f 1 6441606425 64 f 1 64266215 64 f 11 1 1 1 211 1 21 1 3 f 111111 f 11 Assim note que temos f 1 640 e f 10 Logo deve haver pelo menos um valor 1 64 x1 tal que a equação possui uma solução Questão 3 Seja θ o ângulo ROQ Assim a área é dada por APQRQ A2RO cosθROsinθ A2cosθsinθ A2sinθcos θ Asin2θ Mas a função seno é máxima quando o seu argumento vale π 2 Logo Asin π 2 A1cm 2 Questão 4 Para que a função seja contínua neste ponto devemos ter lim x 1 f x f 11 Calculando obtemos lim x 1 f x lim x 1 x 22 x1 x 23 x22 x1cos x1 lim x 1 x1 2 x1 x22 x1cosx1 lim x 1 x1 2 x1 x22 x1cosx1 lim x 1 x1 x1 x22 x1cos x1 lim x 1 1 x2 2cos x1 1 122cos11 1 121 1 Logo a função realmente é contínua em x1 Questão 5 i Temos lim x 0 f 3x x 3lim x0 f 3 x 3 x 3lim y 0 f y y 31 3 ii Temos lim x 0 f x 2 x lim x 0 x f x 2 x 2 lim x0 xlim x0 f x 2 x 2 lim x0 xlim y 0 f y y 01 0 iii Temos lim x 1 f x 21 x1 lim x 1 x1f x 21 x1x1 lim x 1 x1f x 21 x 21 lim x 1 x1lim x1 f x 21 x 21 lim x 1 x1lim y 0 f y y 21 2 iv Temos lim x 0 f 7 x 3 x 7 3 lim x 0 f 7 x 7 x 7 3 lim y 0 f y y 7 3 Questão 6 A Temos lim x 2 g x g 2 x2 lim x 2 x 2 2 2 x2 1 2 lim x2 x 24 x2 1 2 lim x2 x2 x2 x2 1 2 lim x2 x2 1 2 22 2 B lim x 1 sin πx x1 Seja xy1 assim temos lim y 0 sin π y1 y lim y 0 sin πyπ y lim y 0 sin πy cosπ sin π cos πy y lim y 0 sin πy 10cosπy y lim y 0 sin πy y π lim y 0 sin πy π y π lim x 0 sinx x π Questão 7 Como as funções são contínuas temos lim x 3 2f xg x 4 lim x 3 2f x lim x3 g x 4 2lim x3 f x lim x3 g x 4 2f 3g 3 4 25g 34 10g 3 4 g 36 g 36