Prova de Calculo I - Funcoes Exponenciais e Derivadas

CALCULO I Nome Assinatura RA Observacoes Essa avaliacao deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questoes de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Re spostas ilegıveis ou sem justificativas nao serao consideradas validas Questao 1 35 pontos Considere a funcao fx ex 1 ex a 02 pontos Qual e o domınio da f b 02 pontos Encontre a interseccao do grafico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assıntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui maximos e mınimos locais E globais Se sim quais sao g 05 pontos Usando as informacoes dos itens anteriores e outras que julgar necessario esboce o grafico de f Questao 2 10 pontos Encontre a equacao da reta tangente a curva y x 3 x 2 em x 1 Questao 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funcoes a v u2 2lncos2u u b ft 1 tet t et 1 t Questao 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equacao xey xy 3 Calcule dy dx Questao 5 10 ponto Seja f uma funcao derivavel e Fx fx2fx2 Sabendo que f1 2 f 1 3 f2 0 e f 2 1 calcule F 1 Questao 6 15 pontos Considerando que a area de um cırculo de raio r e A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do cırculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dA dt em termos da taxa de variacao do raio dr dt b 05 pontos Se o raio do cırculo se expande a uma taxa constante a area do cırculo tambem se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funcoes abaixo descrevem r com relacao ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variacao da area do cırculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t Olá segue o seu material resolvido Agradeço pela preferência e desejo sucesso Guru Jéssica Via meugurunet Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f a O denominador não pode ser nulo ou seja 1 ex 0 ex 1 ex e0 x 0 x 0 portanto o Domínio é x Rx 0 Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f b Interseção com o eixo y x 0 como a função não está definida em x 0 não existe interseção da função com o eixo y Interseção com o eixo x y 0 0 ex 1 ex ex 0 mas ex 0 x R portanto não existe interseção da função com o eixo X Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f c A função não está definida em x 0 e temos lim x0 ex 1 ex Portanto x 0 é uma assíntota vertical Além disso lim x ex 1 ex 0 Portanto y 0 é uma assíntota horizontal Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f d Vamos derivar a função utilizando a regra do quociente u ex v 1 ex u ex v ex fx uv uv v2 ex 1 ex ex ex 1 ex2 ex 1 1 1 ex2 ex 2 1 ex2 fx ex 2 1 ex2 fx 0 ex 2 1 ex2 0 Note que 1 ex2 0 então ex 2 0 ex 2 lnex ln2 x ln2 portanto a função é crescente x ln2 fx ex 2 1 ex2 fx 0 ex 2 1 ex2 0 Note que 1 ex2 0 então ex 2 0 ex 2 lnex ln2 x ln2 portanto a função é decrescente x ln2 Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f e fx ex 2 1 ex2 Aplicando a regra do quociente u ex 2 u ex v 1 ex2 v 21 ex ex 2ex 2e2x fx uv uv v2 fx ex 1 ex2 ex 2 2 1 ex ex 1 ex4 fx ex 1 ex 2 ex 2 ex 1 ex3 fx ex 1 2 4 ex 1 ex3 fx ex 3 4 ex 1 ex3 fx 0 ex 3 4 ex 1 ex3 0 ex 3 4ex 1 ex3 0 Se 1 ex 0 x 0 então ex 3 4ex 0 como ex 0 pois x 0 e2x 3ex 4 0 fazendo a substituição t ex t2 3t 4 0 Δ 9 414 Δ 9 16 Δ 7 como Δ 0 a desigualdade é verdadeira para todo x 0 Por outro lado fx 0 x 0 Portanto fx tem concavidade para baixo quando x 0 e concavidade para cima x 0 Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f Temos que fx 0 em x ln2 e fln2 0 portanto em ln2 ocorre mínimo local No entanto a função não possui mínimo global Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a intersecção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f Questão 2 10 pontos Encontre a equação da reta tangente à curva y x 3 x 2 em x 1 Aplicando a derivada do quociente u x 3 v x 2 u 1 v 1 y uv uv v2 x 2 x 3 x 22 5 x 22 Em x 1 y 5 1 22 5 e y 4 1 4 Portanto a reta é da forma y 5x b y 5x b e 1 4 pertence a reta 4 5 b b 1 Portanto a reta é r y 5x 1 Questão 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funções a v u2 2lncos2uu b ft 1 tett et 1t a Aplicando a regra do quociente e cadeia a u2 2lncos2u b u a 2u 2 1cos2usen2u2 b 1 a 2u 4sen2ucos2u v ab abb2 v 2u 4sen2ucos2u u u2 2lncos2uu2 v u2 cos2u 4u sen2u 2lncos2ucos2uu2 cos2u b ft 1 tett et 1t ft 1 tett et t12 u 1 tet v t et u 1 et tet v 1 et ft uv uvv2 12 t32 ft et tett et 1 tet1 ett et2 12t3 ft e2t t2 et 1 et t et2 12tt Questão 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equação xey xy 3 Calcule dydx xey xy 3 ddxxey xy ddx 3 dxdx ey x deydx dxdx y x dydx 0 ey x ey dydx y x dydx 0 dydx xey x y ey dydx y ey xey x Questão 5 10 ponto Seja f uma função derivável e Fx fx2 fx2 Sabendo que f1 2 f1 3 f2 0 e f2 1 calcule F1 Fx fx2 fx2 Fx fx2 fx2 2x fx2 x2 fx2 2x Fx fx2 fx2 2x fx2 2x3 fx2 F1 f1 f12 21 f12 213 f12 F1 f222 23 F1 14 6 F1 10 Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t a A πr2 dAdt ddt πr2 dAdt π ddt r2 Aplicando a regra da cadeia dAdt π 2r drdt Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t b dAdt π 2r drdt Não pois dAdt não depende apenas de drdt depende também de r Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t c dAdt π 2r drdt i rt cost dAdt 2 π cost sent dAdt 2 π cost sent não é constante Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t dAdt π 2r drdt ii rt lnt dAdt 2π lnt 1t não é constante Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t dAdt π 2r drdt i rt t dAdt 2π t 12t dAdt π é constante