Cálculo B - Provas e Lista de Exercícios Resolvidos

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Curso Cálculo B 20231 Professor Filipe Dantas Prova 1 1 40 Pontos Seja I 2xx236 dx a Calcule I usando uma substituição não trigonométrica b Calcule I usando uma substituição trigonométrica 2 20 Pontos Calcule a integral indefinida ex sin3ex cosex dx 3 30 Pontos Calcule 11sint dt DICA Multiplique o numerador e o denominador por um termo conveniente 4 30 Pontos Calcule t6 lnt dt CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Curso Cálculo B 20231 Professor Filipe Dantas Prova 2 1 30 Pontos Calcule a integral definida e2 to e cosπ lnxx dx 2 30 Pontos Calcule a área da região delimitada pela curva y x2 4x pelo eixo x e pelas retas verticais x 1 e x 3 3 30 Pontos Considere a função Fx 0 to x2 sincost2 dt Calcule a derivada Fx 4 30 Pontos Verifique se a integral imprópria 0 to 1 1x4 dx converge ou diverge Caso convirja calculea A matemática vista corretamente possui não apenas verdade mas também suprema beleza uma beleza fria e austera como a da escultura Bertrand Russel LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO B Prova 1 Exercício 1 Seja I 2xx2 36 dx a Calcule I usando uma substituição trigonométrica b Calcule I usando uma substituição trigonométrica Solução a Seja u x2 36 então dudx 2x du 2x dx Logo temos que 2xx2 36 dx 1u du ln u C ln x2 36 C b Seja x 6 tant então dxdt 6 sec2t dx 6 sec2t dt Logo temos que 2xx2 36 dx 26 tant6 tant2 36 6 sec2t dt 12 tant36 tan2t 36 6 sec2t dt 72 tant sec2t36 tan2t 1 dt 72 tant sec2t36 sec2t dt 2 tant dt Seja u cost então dudt sint du sint dt Logo temos que 2 tant dt 2 sintcost dt 2 1u du 2 1u du 2 ln u C 2 ln cost C Como x 6 tant então t arctanx6 Portanto 2 ln cost C 2 ln cos arctan x6 C Exercicio 2 Calcule a integral indefinida ex sin3ex cosex dx Solução Seja u ex então dudx ex du ex dx Logo temos que ex sin3ex cosex dx sin3u cosu du Seja v sinu então dvdu cosu dv cosu du Logo temos que sin3u cosu du v3 dv v44 C sin4u4 C sin4ex4 C Exercicio 3 Calcule 11sint dt Solução 11sint 11sint 1sint1sint 1sintcos2t 1cos2t sintcos2t 11sint dt 1cos2t sintcos2t dt 1cos2t dt sintcos2t dt Seja u tant sintcost então dudt costcost sintsintcos2t cos2t sin2tcos2t 1cos2t du 1cos2t dt Logo temos que 1cos2t dt du u C tant C Seja v cost então dvdt sint dv sint dt Logo temos que sintcos2t dt 1v2 dv v2 dv v1 1 C 1v C 1cost C sect C Portanto 1cos2t dt sintcos2t dt tant sect C Exercicio 4 Calcule t6 lnt dt Solução Seja u lnt então dudt 1t du 1t dt Seja dv t6 dt então dv t6 dt v t77 Logo temos que t6 lnt dt uv v du t77 lnt t77 1t dt t77 lnt 17 t6 dt t77 lnt t749 C x2 4x 0 xx4 0 x 0 x 4 Logo temos fx 0 no intervalo 1 3 Portanto a área delimitada pela curva y x2 4x pelo eixo x e pelas retas verticais x 1 e x 3 é dada por A 13 fx dx 13 x2 4x dx x33 2x213 333 232 133 212 273 18 13 2 9 53 9 53 2753 223 223 Exercicio 3 Considere a função Fx 0x2 sincost2 dt Calcule a derivada Fx Solução Seja ft sincost2 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que Fx ddx 0x2 ft dt fx2 ddx x2 f0 ddx 0 sincosx22 2x sincos022 0 2x sincosx4 Exercicio 4 Verifique se a integral imprópria 01 1x34 dx converge ou diverge Caso convirja calculea Prova 2 Exercício 1 Calcule a integral definida 𝑒2 𝑒 cos 𝜋 ln𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Solução Seja 𝑢 ln𝑥 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 Logo temos que Se 𝑥 𝑒 então 𝑢 ln𝑒 1 Se 𝑥 𝑒2 então 𝑢 ln𝑒2 2 Portanto 𝑒2 𝑒 cos 𝜋 ln𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2 1 cos 𝜋𝑢 𝑑𝑢 Seja 𝑣 𝜋𝑢 então 𝑑𝑣 𝑑𝑢 𝜋 𝑑𝑢 1 𝜋 𝑑𝑣 Se 𝑢 1 então 𝑣 𝜋 Se 𝑢 2 então 𝑣 2𝜋 Portanto 2 1 cos 𝜋𝑢 𝑑𝑢 2𝜋 𝜋 cos𝑣 1 𝜋 𝑑𝑣 1 𝜋 2𝜋 𝜋 cos𝑣 𝑑𝑣 1 𝜋 sin𝑣2𝜋 𝜋 1 𝜋 sin2𝜋 sin𝜋 1 𝜋 0 0 0 Exercício 2 Calcule a área delimitada pela curva 𝑦 𝑥2 4𝑥 pelo eixo 𝑥 e pelas retas verticais 𝑥 1 e 𝑥 3 Solução Iniciaremos encontrando as intersecções da curva com o eixo 𝑥 𝑥2 4𝑥 0 𝑥𝑥 4 0 𝑥 0 𝑥 4 Agora analisaremos o sinal da função 𝑓 𝑥 No text present in the image Solução 01 1x34 dx lim n0 n1 1x34 dx lim n0 n1 x34 dx lim n0 x1414n1 lim n0 4 x14n1 lim n0 4 114 4 n14 lim n0 4 4n14 4 4 014 4 4 0 4 Portanto a integral imprópria 01 1x34 dx converge e seu valor é 4