Exercícios Resolvidos Integral Tripla - Cálculo de Massa e Momento de Inércia de Cilindro Bi-Material

Exercícios Integral Tripla 12 Calcular a massa total e o momento de inércia Iz do cilindro bimaterial Olá aqui é a Letícia sua Guru Tudo bem Bom aqui está o seu trabalho eu estou enviando no formato PDF como eu não sabia o seu nível de entendimento do assunto montei os cálculos passo a passo com alguns comentários se precisar de alguma explicação fique à vontade para pedir Espero que esteja do seu agrado e que você consiga uma boa nota por favor verifique se faltou algum detalhe e se você entendeu tudo Sendo assim quaisquer dúvidas ou solicitações pode enviar em até 7 dias para mim pelo chat ou pelo suporte da plataforma Não se esqueça da avaliação do Guru coloque junto com o comentário sua cor favorita se você leu até aqui e deu tudo certo com o seu pedido Bons estudos Por serem dois cilindros de material diferentes então calculamos suas massas separadamente e somamos massa densidade m ρ dV Cilindro B limitações 0 z h assumindo pela imagem que cortamos os cilindros pelo plano xy e chegamos até o ponto z h fórmula do cilindro x² y² r² assim x r cos θ y r sen θ dx dy r dr dθ usando coordenadas polares para delimitar então r² b r b 0 r b volta completa então 0 θ 2π Assim ρ dV ρ dx dy dz ρ r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ₀ᵇ ρ r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ rb² 0² 2 dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ b2 dθ dz ₀ʰ ρ b2 θ₀²π dz ₀ʰ ρ b2 2π 0 dz ₀ʰ ρ b π dz ρ b π z₀ʰ ρ b π h 0 ρ b π h um do cilindro B Cilindro A limitações 0 z h como visto anteriormente x² y² r² r² a r a porém b r a pois não usaremos a área do cilindro x r cos θ y r sen θ dx dy r dr dθ como um todo mas usaremos a volta volta completa 0 θ 2π completa Assim ρ dV ρ dx dy dz ρ r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ᵦʳₐ ρ r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ᵦʳₐ r²2 dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ rₐ² rᵦ²2 dθ dz ₀ʰ ₀²π ab2 dθ dz ₀ʰ ab2 θ₀²π dz ₀ʰ ab2 2π0 dz ₀ʰ ρ ab π dz ρ ab π z₀ʰ ρ ab π h0 ρ h ab π um do cilindro A Assim vamos somar as massas Mₜ Mᵦ Mₐ Mₜ ρ b π h ρ h π ab Mₜ ρ π h a um Momento da Inércia Iz Fazendo a soma do momento da inércia de cada cilindro Cilindro B Iz ρ x² y² dV ρ r² dx dy dz ρ r² r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ᵦʳₐ r³ dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ r⁴4₀ᵦ dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ rᵦ⁴ 0⁴4 dθ dz ₀ʰ ρ b²4 θ₀²π dz ₀ʰ ρ b²4 2π0 dz ₀ʰ b²2 dz ₀ʰ ρ b²2 z₀ʰ ρ b²2 h0 ρ b²2 h Cilindro A Iz ρ x² y² dV ρ r² dx dy dz ρ r² r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ᵦʳₐ r³ dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ r⁴4ᵦʳₐ dθ dz ₀ʰ ₀²π ρ rₐ⁴ rᵦ⁴4 dθ dz ₀ʰ ₀²π a² b²4 dθ dz ₀ʰ ρ a² b²4 θ₀²π dz ₀ʰ ρ a² b²4 2π0 dz ₀ʰ ρ a² b² π2 dz ₀ʰ ρ a² b² π2 z₀ʰ ρ a² b² π2 h0 ρ a² b² π2 h Assim Izₜ Izₐ Izᵦ Izₜ ρ a² b² π h2 ρ b² π h2 Izₜ ρ π h a²2