Atividade de Estatística Técnica de Somatória

Lista 01 Técnicas de Somatório Notação e propriedades 1 Variáveis e Índices O símbolo xj leia x índice j representa qualquer um dos n valores x1 x2 xn resultantes de uma mensuração de uma variável aleatória X na amostra conjunto de dados A letra j usada como índice indica um dos possíveis valores de 1 até n da variável aleatória Assim por exemplo se for considerada uma amostra de tamanho n 4 de recém nascidos e se X representa uma variável relativa ao peso em kg destes recém nascidos então uma possibilidade de resultados será 27 32 33 e 29 Logo x1 27 x2 32 x3 33 e x4 29 Os valores da variável aleatória são representados por letras minúsculas e as variáveis aleatórias em si por letras maiúsculas 2 Notação de Somatório Para representarmos a soma de n variáveis aleatórias podemos utilizar o símbolo sum que é a letra grega maiúscula sigma Assim a soma x1 x2 xn pode ser escrita de maneira sintética como sumj1n xj ou seja sumj1n xj x1 x2 xn O índice j varia de 1 até n mas também pode variar em qualquer subintervalo que compreenda esses limites 3 Algumas Propriedades a sumj1n a xj a x1 a x2 a xn ax1 x2 xn a sumj1n xj b sumj1n xj yj x1 y1 x2 y2 xn yn sumj1n xj sumj1n yj c sumj1n a xj b yj a sumj1n xj b sumj1n yj d sumj1n k kn Onde a b e k são constantes Exercícios Propostos 1 Considere as amostras de tamanho n 5 dadas por X 1 2 4 5 3 7 e Y 13 22 31 18 15 obter a sumj14 xj b sumj15 yj c sumj15 2 xj2 d sumj15 xj yj e sumj15 3 xj 2 yj f sumj25 xj yj sumj15 yj2 2 Considere barX frac1n sumj1n Xj e S2 frac1n1 left sumj1n Xj2 fracleft sumj1n Xj right2n right os estimadores da média e da variância populacionais respectivamente obtidos de uma amostra aleatória de tamanho n Considerando os dados X 312475 calcular a média e a variância 3 Mostrar numericamente a partir do conjunto X 123 e de forma algébrica para qualquer amostra de tamanho n que sumj1n Xj barX 0 4 Demonstrar que o valor de Q fracsumj1n Xj A2n1 representa um ponto de mínimo se o valor de A for igual a barX Representar em um gráfico o esboço da função Q 5 Criar um conjunto de valores de tamanho n 3 para que a seguinte igualdade se verifique Q fracsumj1n Xj barX2n1 0 6 Desenvolva a expressão Q fracsumj1n Xj barX2n1 considerando as propriedades de somatório e mostrar que Q S2 A partir deste resultado e daquele obtido no item 5 qual é o significado e interpretação você atribui à variável S2 Resolução de Exercícios de Estatística com Gráficos Exercício 1 Considere as amostras de tamanho n 5 dadas por X 1 2 4 5 3 e Y 13 22 31 18 15 obter a sumj14 xj 1 2 4 5 12 b sumj15 yj 13 22 31 18 15 99 c sumj15 2 xj2 212 22 42 52 32 21416259 2 imes 55 110 d sumj15 xj yj 1 imes 13 2 imes 22 4 imes 31 5 imes 18 3 imes 15 13 44 124 90 45 316 e sumj15 3 xj 2 yj 3 sum xj 2 sum yj 3 imes 15 2 imes 99 45 198 243 f sumj25 xj yj sumj15 yj2 316 13 132 222 312 182 152 303 169 484 961 324 225 303 2163 2466 Exercício 2 Considerando os dados X 3 1 2 4 7 5 calcular a média e a variância barX fracsumj1n Xjn frac3 1 2 4 7 56 frac226 approx 36667 S2 frac1n1 left sumj1n Xj2 fracsumj1n Xj2n right frac15 left 9 1 4 16 49 25 frac2226 right frac15 left 104 frac4846 right frac15 104 806667 approx frac2333335 approx 46667 Distribuição dos Valores de X Valores Xj Índice j Média 367 Média 367 Média 367 Exercício 3 Mostrar numericamente a partir do conjunto X1 2 3 e de forma algébrica que j1n Xj overlineX 0 Numericamente overlineX 1 2 33 2 Xj overlineX 1 2 2 2 3 2 1 0 1 0 Algebraicamente j1n Xj overlineX Xj overlineX n overlineX n overlineX 0 Exercício 4 Demonstrar que Q j1n Xj A2 n1 é mínimo quando A overlineX Demonstração dQdA ddA Xj A2 n1 2 n 1 Xj A1 0 Xj A 0 Xj nA A Xj n overlineX Função Q em função de A Mínimo em overlineX 2 Exercício 5 Criar um conjunto de valores com n 3 onde Q Xj overlineX2 n1 0 Solução Qualquer conjunto onde todos os valores são iguais por exemplo X 5 5 5 overlineX 5 Xj overlineX2 552 552 552 0 Q 02 0 Conjunto com Variância Zero Valores Xj Índice j Média 5 Média 5 Média 5 Exercício 6 Desenvolver a expressão Q S2 e interpretar S2 Xj overlineX2 n 1 Xj2 2 overlineX Xj n overlineX2 n 1 Xj2 n overlineX2 n 1 Interpretação S2 mede a dispersão dos dados em relação à média Quando S2 0 como no Exercício 5 todos os pontos são iguais à média indicando ausência de variabilidade 1 2 3 0 2 4 6 Indice j Valores Xj Comparacao de Conjuntos com Diferentes Variˆancias Conjunto com S2 0 Conjunto com S2 0 5