Atividade de Teorema do Limite Central

Lista 6 Exercícios para visualização do Teorema do Limite Central Teorema Seja uma população qualquer com médiaμ e variânciaσ2 e considerando amostras suficientemente grandes n então a distribuição do estimador da média teráNμσ2n Exercício 1 Aqui segue uma rotina que nos ajuda a entender a dinâmica do teorema do limite central Portanto rode esta rotina no R rmlist ls graphicsoff População bimodal para efeito visual pop crnorm5e4 mean 10 sd 2 rnorm5e4 mean 20 sd 3 Simulação n c10 100 1000 Tamanhos de amostra medias lapplyn functionx replicate500 meansamplepop x Gráficos janela dividida parmfrow c2 2 População histpop breaks 50 col lightblue main POPULAÇÃO ORIGINAL ablinev meanpop col red lty 2 lwd 2 Médias for i in seqalongn histmediasi col lightgreen main pasten ni xlab pasteVariância roundvarmediasi 3 ablinev meanpop col red lty 2 lwd 2 Observem que a distribuição original dos dados é uma distribuição Bimodal mas quando retiramos a média a distribuição das médias é unimodal normal com média médiaμ e com variânciaσ2n Dois pontos merecem ser destaque 1 A média do estimador converge para a média da população e 2 A variância do estimador cai à medida em que aumentamos a amostra Exercício 2 Aqui segue uma outra rotina que nos ajuda a entender a dinâmica do teorema do limite central Portanto rode esta rotina no R 1 Configuração inicial OBRIGATÓRIA rmlist ls Limpa a memória graphicsoff Fecha gráficos anteriores parask FALSE Desativa confirmações entre gráficos 2 Criar população NÃO NORMAL bimodal para efeito dramático setseed123 populacao c rnorm1e5 mean 10 sd 2 Primeiro pico rnorm1e5 mean 20 sd 3 Segundo pico mu meanpopulacao Média real da população sigma sdpopulacao Desvio padrão real 3 Parâmetros da simulação tamanhosamostra c5 30 100 500 Destaque para n 30 regra prática numsimulacoes 1000 Número de amostras por tamanho 4 Simulação das médias amostrais medias lapplytamanhosamostra functionn replicatenumsimulacoes meansamplepopulacao n 5 Configurar área de plotagem para os gráficos de médias devnewwidth 10 height 8 Janela gráfica grande parmfrow c2 2 mar c5 4 4 2 01 Margens aumentadas 6 Gráficos das MÉDIAS para cada tamanho de amostra for i in seqalongtamanhosamostra n tamanhosamostrai histmediasi breaks 30 col 4ECDC4 main pasteMÉDIAS n n xlab pasteVariância observada roundvarmediasi 3 ylab Densidade probability TRUE xlim rangepopulacao border NA Curva normal teórica TLC curvednormx mean mu sd sigmasqrtn add TRUE col 292F36 lwd 2 Linha da média populacional ablinev mu col red lty 2 lwd 2 Legenda ajustada para a direita com xpdTRUE para sair da área do gráfico legendx maxmediasi diffrangemediasi01 Posição x ajustada y maxhistmediasi plot FALSEdensity08 Posição y ajustada legend cDistribuição das Médias Normal TLC pasteμ roundmu 2 col c4ECDC4 292F36 red lwd 2 bty n xpd TRUE 7 Gráfico da POPULAÇÃO em janela separada devnew Nova janela gráfica parmar c5 4 4 2 01 Margens padronizadas histpopulacao breaks 50 col FF6B6B main POPULAÇÃO ORIGINAL xlab Valores ylab Frequência probability TRUE xlim rangepopulacao curvednormx mean mu sd sigma add TRUE col blue lwd 2 Legenda ajustada para a direita legendx maxpopulacao diffrangepopulacao01 y maxhistpopulacao plot FALSEdensity08 legend cDistribuição Real Normal Teórica col cFF6B6B blue lwd 2 bty n xpd TRUE Observem que a distribuição original dos dados é uma distribuição assimétrica e discreta mas quando retiramos a média a distribuição das médias é simétrica normal com média médiaμ e com variânciaσ2n Dois pontos merecem ser destaque 1 A média do estimador converge para a média da população e 2 A variância do estimador cai à medida em que aumentamos a amostra Exercício 3 Aqui segue uma outra rotina que nos ajuda a entender a dinâmica do teorema do limite central Portanto rode esta rotina no R TEOREMA DO LIMITE CENTRAL DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ASSIMÉTRICA p 09 1 Configurações iniciais setseed123 rmlist ls graphicsoff 2 Parâmetros da população Binomial n10 tentativas p09 de sucesso nensaios 10 Número de ensaios de Bernoulli psucesso 09 Probabilidade de sucesso assimetria forte à esquerda 3 Criar população Binomial 1 milhão de observações populacao rbinom1e6 size nensaios prob psucesso mupop meanpopulacao Média teórica nensaios psucesso sigmapop sdpopulacao Desvio padrão teórico sqrtn p 1p 4 Tamanhos de amostra para análise múltiplos de 10 tamanhosamostra c10 100 1000 n 10 100 1000 numsimulacoes 1000 Número de amostras por tamanho 5 Matriz para armazenar as médias amostrais mediasamostrais matrixnrow numsimulacoes ncol lengthtamanhosamostra 6 Simular médias amostrais for i in seqalongtamanhosamostra n tamanhosamostrai mediasamostrais i replicatenumsimulacoes amostra samplepopulacao n replace TRUE meanamostra 7 Configurar janela gráfica 1 linha 2 colunas parmfrow c1 2 mar c4 4 2 1 8 Gráfico da população original Binomial histpopulacao breaks seq05 nensaios 05 by 1 main pastePopulação Original Binomial10 psucesso xlab Número de sucessos ylab Frequência col lightblue freq FALSE xlim c0 nensaios points0nensaios dbinom0nensaios size nensaios prob psucesso type h col red lwd 2 Probabilidades teóricas ablinev mupop col darkblue lty 2 lwd 2 legendtopright legend cpasteμ mupop bty n 9 Gráfico das distribuições das médias amostrais cores cFF9999 66CC99 9999FF Cores para cada tamanho de amostra plotNA xlim cmupop 3 mupop 3 ylim c0 12 main Distribuição das Médias Amostrais xlab Média Amostral ylab Densidade for i in seqalongtamanhosamostra n tamanhosamostrai dens densitymediasamostrais i linesdens col coresi lwd 2 Adicionar curva normal teórica x seqminmediasamostrais i maxmediasamostrais i lengthout 100 y dnormx mean mupop sd sigmapop sqrtn linesx y col coresi lty 2 lwd 15 Legenda legendtopright legend cpasten tamanhosamostra Normal teórica col ccores black lty c1 1 1 2 lwd 2 bty n Observem que a distribuição original dos dados é uma distribuição assimétrica e discreta mas quando retiramos a média a distribuição das médias é simétrica normal com média médiaμ e com variânciaσ2n Dois pontos merecem ser destaque 1 A média do estimador converge para a média da população e 2 A variância do estimador cai à medida em que aumentamos a amostra