Transformações Lineares e Matrizes - Exercícios Resolvidos

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 221 616 Os vetores u1 110 u2 011 u3 122 formam uma base S de R3 Encontre as coordenadas de um vetor arbitrário v abc em relação à base S Método 1 Escrevemos v como uma combinação linear de u1 u2 u3 usando incógnitas x y z Temos a b c x1 1 0 y0 1 1 z1 2 2 xz x y 2z y 2z que fornece o sistema x z a x y 2z b y 2z c ou ou ou x x y y x b a y 2 a a b a b y 2 c y 2 c a b c Substituindo para trás obtemos x b c y 2a 2b c z a b c Assim vS b c 2a 2b c a b cT Método 2 Encontramos P1 reduzindo M P I a forma I P1 em que P é a matriz de mudança de base da base canônica E para S ou em outras palavras a matriz cujas colunas são os vetores da base S Temos M 10 1 100 0 2000 013 0 011 0 0 0 100 100 0 011 0 000 011 0 0 11 100 1111 000 1102 11 I P1 Assim P1 011 2 21 11 e vS P1vE 0 1 a b c 2 2 b 2 h a c 617 Considere as bases de R2 a seguir S u1 u2 1 2 3 4 e S v1 v2 13 38 a Encontre as coordenadas de v a b em relação à base S b Encontre a matriz de mudança de base P de S para S c Encontre as coordenadas de v a b em relação à base S d Encontre a matriz de mudança de base Q de S de volta para S e Verifique que Q P1 f Mostre que P1uS uS para qualquer vetor u a b de R Ver Teorema 66 g Seja u x u1 y u2 com incógnitas x e y ou seja a x 1 2 y 3 ou x 3y a ou x 3y a b 4 2x 4 y b 2y 2a b