Projeção Ortogonal em Espaços Vetoriais - Definições e Exemplos

A projeção ortogonal Seja V um espaço vetorial com produto interno Dois vetores uv V são ortogonais se uv0 Ex 1 seja V R² xy xy R com o produto interno canônico Assim u 11 e v11 do R² são ortogonais já que uv 1111 11 11 1 1 0 Já vimos que dados os vetores abstratos uv em um espaço vetorial V que a projeção ortogonal de u sobre v ou a edição de v é o vetor representado abaixo Notamos que u Projv u z I com zv0 logo z Projv u 0 De I segue que z u Projv u E usando que Projv u uv vv v II temos de que z u Projv u u uv vv v Como zv 0 vz é um conjunto LI Ex 2 seja β 10 11 R² i O conjunto β é ortogonal Sol Não pois considerando o PIC produto interno canônico do R² temos que 10 11 11 01 1 0 ii O conjunto β é uma base do R² Sol Sim pois o conjunto β é LI e gera o R² De fato i β é LI já que α10 β11 00 α β 0 α 0 β 0 logo α β 0 ii β gera o R² faz que α β x α x y β y Assim xy R² vale que xy xy10 y11 iii É possível a partir de β obter um outro conjunto β 10 z que seja uma base ortogonal do R² Sol Sim basta construir z usando a ideia dada na pg 1 considerando β 10 11 R e calculando o vetor z u Projv u 11 11 101010 10 11 11 v 11 10 01 Logo o novo conjunto β 10 z 10 01 que é a base canônica do R² que é uma base ortogonal do R² Vamos definir bases ortogonais em um espaço vetorial V de dimensões finita Def 1 Um conjunto β v₁ vₖ em V é uma base ortogonal de V se i β é uma base de V ou seja β é um conjunto LI e V v₁ vₖ Nesse caso dizemos que dimensões de V é o número k Notação dim V k ii β é um conjunto ortogonal isto é vi vj em β vale que vi vj 0 ij 1 k com i j Ex 3 O conjunto do exemplo 1 de R² é uma base ortogonal pois o conjunto β 11 11 é ortogonal Então β é LI E basta dois vetores LIs para gerar o R² De fato xy R² xy α11 β11 α β x α β y 2α x y α x y2 Usando a 1ª eq temos β x α x x y2 x y2 logo xy x y2 11 x y2 11 Def 2 Um conjunto β v₁vₖ é uma base ORTONORMAL de V se β for uma base ortogonal de V e se os vetores vᵢ são unitários ou seja se vᵢvᵢ 1 i 1k Ex 4 O conjunto β 1111 é uma base ortogonal do ℝ² vimos isso no ex 3 Perguntase β é ortonormal A resposta é não já que se denotarmos por v₁ 11 o 1º vector de β vale que v₁v₁ 1111 1² 1² 2 1 Ex 5 Em ℝⁿ x₁x₂xₙ xᵢ ℝ i1n com o produto interno canônico temos que o conjunto dado por β e₁ e₂ eₙ onde eᵢ 00¹ᵢ0 iésima entrada da nupla é a base canônica do ℝⁿ que é uma base ortonormal do ℝⁿ com o PIC Que é uma base já foi feito antes e que é ortonormal porque se eᵢeⱼ 0 se i j e eᵢeᵢ 1 ij 1n Em particular em ℝ³ xyz xyz ℝ o conjunto β e₁ e₂ e₃ 100 010 001 é uma base ortonormal do ℝ³ já que eᵢeⱼ 0 e eᵢeᵢ 1 i j i Ex 6 Seja o conjunto β 101 110 em ℝ³ i β é ortogonal Não pois no PIC do ℝ³ temos 101 110 1 0 ii Determine z ℝ³ usando β de modo a determinar um conjunto β 101 z que seja ortogonal em ℝ³ Sol Usando Projeção ortogonal vamos construir o vetor z z μ Projᵥ μ onde μ 110 que é o vetor a ser substituído em β e v 101 que é o vetor que vai ser mantido em β Assim z 110 110 101101 101 101 110 12 101 12112 Logo o novo conjunto β 101 12112 é ortogonal em ℝ³ e portanto é um conjunto LI em ℝ³ Voltando ao ex 4 o conjunto β 1111 em ℝ² é uma base ortogonal do ℝ² Geometricamente vale que v₁ 11 e v₂ 11 v₁v₂ 0 são ortogonais isso no PIC deve coincidir com a ideia de perpendicularidade Fig 1 a de ângulos que já foi abordado em Álgebra Linear I Ângulo Dados dois vetores μv em V e considerando a mesma proveniente do produto interno então temos que vale a Desigualdade de CauchySchwarz μv μ v μv V Supondo que μv 0 então μ 0 e v 0 Assim dividindo a expressão em por μv obtemos μv μv 1 μv μv 1 1 μv μv 1 Então definimos o ângulo θ entre os vetores não nulos μ e v em V como sendo aquele que verifica cos θ μv μv Vamos aplicar essa noção no exemplo do conjunto β de ℝ² onde β 11 11 então para esse caso o ângulo θ entre os vetores μ 11 e v 11 que são ortogonais é tal que cos θ μv μv 0 μv 0 logo θ 90 e isso coincide com perpendicularidade veja fig 1 na pág anterior As funções trigonométricas são definidas como relações métricas no triângulo retângulo com medidas r hipotenusa a e b catetos Teorema de Pitágoras r² a² b² cosθ cateto adjacente hipotenusa a r senθ cateto oposto hipotenusa b r Assim cos²θ sen²θ a² r² b² r² a² b² r² r² r² 1 1ª relação fundamental de trigonometria Se r 1 então cosθ a e senθ b Como cosθ a 1 e senθ b 1 para 0 θ 90 Se θ 0 então o triângulo degenera e cos0 a r 1 e sen0 b 0 Por outro lado se θ 90 então o triângulo também degenera e sen90 b r 1 e cos90 a 0 Para θ 45 temos que assim desenho triângulo θ 45 Assim cos45 a b sen45 Então o triângulo é isósceles Logo cos²45 sen²45 1 2cos²45 1 Assim cos²45 12 cos45 12 sen45 Tente deduzir os demais casos para os ângulos θ 30 e θ 60