Algebra Linear - Transformacoes Lineares - Exercicios e Definições

Álgebra Linear Transformações Lineares Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 1 Prof Carlos Alexandre Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis Muitos problemas podem ser representados por tais funções Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais Uma transformação linear é uma função de V em W F V W que satisfaz as condições i Quaisquer que sejam u e v em V FuvFuFv ii Quaisquer que sejam k R e v V Fkv kFv Princípio da Superposição Guardem esse nome Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares Exemplo 1 V R e W R F R R definida por u αu ou Fu αu Solução Fu v αu v αu αv Fu Fv Fku αku kαu kFu Logo F é linear Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares Exemplo 2 F R R definida por u u² ou Fu u² Solução Fu v u v² u² 2uv v² u²v² FuFv Logo F não é linear Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares Exemplo 3 F R² R³ xy 2x 0 x y ou Fx y 2x 0 x y Solução Dados u e v R² sejam ux₁y₁ e vx₂y₂ xᵢyᵢ R FuvFx₁y₁ x₂y₂ Fx₁ x₂ y₁ y₂ 2x₁ 2x₂ 0 x₁ x₂ y₁ y₂ 2x₁ 0 x₁ y₁ 2x₂ 0 x₂ y₂ Fu Fv FkuFkx₁ y₁Fkx₁ ky₁ 2kx₁ 0 kx₁ky₁ k2x₁ 0 x₁ y₁ kFu Logo F é linear 8 Cont Transformações Lineares Exemplo Das propriedades de operações de matrizes Lₐu v Au v Au Av Lₐu Lₐv Lₐku Aku kAu kLₐu Logo Lₐ é linear 10 Transformações do Plano no Plano 1 Expansão ou contração uniforme T R² R² α R v αv Por exemplo T R² R² α 2 v 2v Tx y 2x y Na forma matricial x y 2 x y ou x y 2 0 0 2 x y Nesse caso temos uma expansão Se 0 α 1 teríamos uma contração Transformações Lineares OBS 1 Da definição de transformação linear temos que a transformação do vetor nulo leva ao mesmo vetor nulo T0 0 Isso ajuda a detectar transformações não lineares se T00 implica uma transformação Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 6 lineares se T00 implica uma transformação não linear No entanto T0 0 não é condição suficiente para que T seja linear ex Tu u2 Transformações Lineares OBS 2 Uma transformação para ser linear não implica que ela é derivada de uma função linear Por exemplo x y x 5 y não é transf Linear embora o mapeamento seja linear Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 7 Verifique que essa transf não é linear Transformações Lineares Exemplo V Rn e W Rm Seja A uma matriz mxn Definimos LA Rn Rm por v Av onde v é tomado como vetor coluna v L v A x1 x x1 y1 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 8 LAv A xn x1 xn y1 ym Transformações Lineares Exemplo Suponha A LAR2R3 2 0 0 0 1 1 x 2 0 x 2x Cont Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 10 Então LAx1 x2 2x1 0 x1 x2 x1 x2 2 0 0 0 1 1 x1 x2 2x1 0 x1 x2 Transformações do Plano no Plano 2 Reflexão em Torno do Eixo X T R² R² x y x y Na forma matricial x y x y ou x y 1 0 0 1x y Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações do Plano no Plano 3 Reflexão na Origem T R² R² v v ou Tx y x y Na forma matricial x y x y ou x y 1 0 0 1x y Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações do Plano no Plano 4 Rotação de um ângulo θ sentido antihorário y v α Rθ y v α y θ Rθv Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 14 x α x α x x rcosθ α rcosαcosθ rsenαsenθ onde r v Mas rcosα x e rsenα y x xcosθ ysenθ Analogamente y ycosθ xsenθ Assim Rθxy xcosθ ysenθ ycosθ xsenθ Transformações do Plano no Plano 4 Rotação de um ângulo θ sentido antihorário x y xcosθ ysenθ ycosθ xsenθ cosθ senθ senθ cosθ x y Caso θ π2 temos Cont Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 15 Caso θ π2 temos x y 0 1 1 0 x y y x v Rθv Rθθθθ Transformações do Plano no Plano 5 Cisalhamento Horizontal Tx y x αy y αR Por exemplo Tx y x 2y y x y x2y y 1 2 0 1x y Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações do Plano no Plano 6 Translação Tx y x a y b a b R x y 1 0 0 1x y a b Observe que a menos que a b 0 essa transformação não é linear Conceitos e Teoremas Teorema Dados dois espaços vetoriais V e W e uma base V v1 vn sejam w1 wn elementos arbitrários de W Então existe uma única transformação linear T V W tal que Tv1 w1 Tvn wn Esta transformação é dada por Se v a1v1 anvn Tv a1Tv1 anTvn a1w1 anw n Conceitos e Teoremas Exemplo Qual a transformação linear T R² R³ tal que T1 0 2 1 0 e T0 1 0 0 1 Solução e1 1 0 e e2 0 1 w1 2 1 0 e w2 0 0 1 v x y v x y x1 0 y0 1 Tv Tx1 0 Ty0 1 Tv xTe1 yTe2 x2 1 0 y0 0 1 Tv 2x x y Conceitos e Teoremas Exemplo Qual a transformação linear T R²R³ tal que T1 1 3 2 1 e T0 2 0 1 0 Solução 1 T1 1 3 2 1 T0 2 0 1 0 Mas T02010 2T01010 T010½0 T11T10 T01 321 T10 0½0 3 21 T10 3521 Logo T10 3 52 1 e T01 0 ½ 0 Agora formam uma base canônica Não formam base canônica Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 20 Conceitos e Teoremas Exemplo Solução 1 v x y Tv xTe₁ yTe₂ x3 52 1 y0 ½ 0 Tv 3x 52x ½y x OBS T11 3 52 ½ 1 3 2 1 T0 2 0 1 0 OK Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 21 Conceitos e Teoremas Exemplo Qual a transformação linear T R²R³ tal que T1 1 3 2 1 e T0 2 0 1 0 Solução 2 T1 1 3 2 1 T0 2 0 1 0 v x y a1 1 b0 2 Logo x a e y a 2b b x y2 Assim v x1 1 x y20 2 Tv xT11 x y2T0 2 Tv x3 2 1 x y20 1 0 Tv 3x 52x ½y x como antes Não formam base canônica Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 22 Conceitos e Teoremas Definição Seja T V W uma transformação linear A imagem de T é o conjunto dos vetores wW tal que existe um vetor v V que satisfaz Tvw Ou seja ImT w W Tv w para algum v V Definição Seja T V W uma transformação linear O conjunto de todos os vetores v V tais que Tv0 é chamado de núcleo de T sendo denotado por ker T ker kernel Isto é ker T v V Tv 0 Conceitos e Teoremas Exemplo 1 TR2 R x y x y Neste caso ker T xyR2 x y 0 Isto é ker T é a reta y x Podemos dizer ainda que ker T x x xR x11 xR 11 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 24 x11 xR 11 Im T R pois dado wR w Tw 0 y x y x 0 Im T R Qualquer valor dos reais satisfaz o par x x Conceitos e Teoremas Exemplo 2 Seja T R³ R³ dada por Tx yz x 2y 0 Então a imagem de T ImT x 2y 0 x y R x1 0 0 y0 2 0 xy R 1 0 0 0 2 0 dim ImT 2 O núcleo de T é dado por ker T xyz Txyz 000 x 2y 00 0 0 0 0 z z R z001 z R 0 0 1 dim ker T 1 Conceitos e Teoremas Definição Dada uma transf TVW dizemos que T é injetora se dados uV e vV com Tu Tv tivermos u v ou de forma equivalente T é injetora se dados uvV com uv então TuTv Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Em outras palavras T é injetora se as imagens de vetores distintos são distintas 26 Conceitos e Teoremas Definição Dada uma transf TVW dizemos que T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W ou seja TV W Em outras palavras T é sobrejetora se dado wW existir vV tal que Tv w Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr wW existir vV tal que Tv w 27 Conceitos e Teoremas Exemplo TRR2 xx 0 Dados x yR suponhamos que TxTy Então x 0 y 0 x y Logo T é injetora Mas T não é sobrejetora uma vez que ImTR2 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Mas T não é sobrejetora uma vez que ImTR2 28 Conceitos e Teoremas Teorema Seja T VW uma transformação linear Então ker T0 se e somente se T é injetora Teorema Seja T VW uma transformação linear então dim ker T dim Im T dim V Corolário 1 Se dim V dim W então T linear é injetora se e somente se T é sobrejetora Corolário 2 Seja T VW uma transformação linear injetora Se dim V dim W então T leva base em base Base de V em base de W Conceitos e Teoremas Quando uma transformação linear T VW for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo dáse o nome de isomorfismo Tais espaços vetoriais são ditos Isomorfos Conceitos e Teoremas Exemplo 1 Seja T R³R³ dada por Txyz x 2y z x y Vamos mostrar que T é um isomorfismo e calcular sua inversa T¹ Solução Se pudermos mostrar que T é injetora teremos que T é um isomorfismo pelo corolário 2 anterior Isso equivale a mostrar que ker T 0 0 0 Mas ker T x y z Tx y z 0 0 0 e Txyz 000 se e somente se x 2y z x y 000 Conceitos e Teoremas Exemplo 1 x 2y z x y 000 Isso implica x 2y 0 x 2y z 0 z 0 x y 0 x y x y z 0 Portanto T é isomorfismo Tomando a base canônica de R³ sua imagem pela transformação é T100 T010 T001 101 201 010 que ainda é uma base de R³ Calculemos a transformação inversa de T Cont Conceitos e Teoremas Exemplo 1 Como T100 101 T¹101100 T010 201 T¹201010 T¹xyz T001 010 T¹010001 Vamos escrever xyz em relação à base 101 2 01 010 x y z a1 0 1 b2 0 1 c0 1 0 x a 2b y c z a b a x 2z3 b z x3 c y x y z x 2z3 1 0 1 z x3 201 y010 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Cont Conceitos e Teoremas Exemplo 1 Então T¹x y z x 2z3 T¹1 0 1 z x3 T¹201 y T¹010 T¹x y z x 2z3 100 z x3 010 y 001 T¹x y z x 2z3 z x3 y Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares e Matrizes Exemplo 2 A 1 3 5 2 4 1 β1001 e β100010 001 TA R³ R² Encontremos essa transformação linear Solução Seja x x y z Ax 1 3 5 2 4 1 x y z Então TAx y z x 3y 5z10 2x 4y z01 TAx y z x 3y 5z 2x 4y z Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares e Matrizes Exemplo 3 Seja TR³R² tal que Txyz 2xyz 3x2y4z Sejam β111110100 e β1314 Procuremos Tββ Calculando T nos elementos da base β temos T1 1 1 2 5 31 3 11 4 T1 1 0 3 1 111 3 81 4 T1 1 1 2 3 51 3 31 4 Então Tββ 3 11 5 1 8 3 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares e Matrizes Exemplo 4 Seja T a transformação anterior Sejam β100010001 e β1001 Calculemos Tββ Calculando T nos elementos da base β temos T1 0 0 2 3 21 0 30 1 T0 1 0 1 2 11 0 20 1 T0 0 1 1 4 11 0 40 1 Então Tββ 2 1 1 3 2 4 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Transformações Lineares e Matrizes Exemplo 5 Dadas as bases β1 10 1 de R² β0 3 0 1 0 0 0 1 1 de R³ Encontremos a transformação linear TR²R³ cuja matriz é Tββ 0 2 1 0 3 Interpretando a matriz temos T1 1 00 3 0 11 0 0 10 1 1 1 1 1 T0 1 20 3 0 01 0 0 30 1 1 0 9 3 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr Cont Transformações Lineares e Matrizes Exemplo 5 Devemos encontrar Tx y Para isso escrevemos x y em relação à base β x y x1 1 y x0 1 Aplicando T e usando a linearidade Tx y Tx1 1 y x0 1 xT1 1 y xT0 1 Tx y x1 1 1 y x0 9 3 Tx y x 9y 10x 3y 4x Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 39 Transformações Lineares Seja TVV uma transformação linear e α e β bases de V então Tββ I αβ Tαα I β α Lembrando que I β α I α β¹ e chamando I α βA temos Tββ A Tα α A¹ Nesse caso dizemos que as matrizes Tββ e Tα α são semelhantes Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 40 Exercícios Sugeridos 2 3 4 6 11 Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 41 11 14 19 20 23 A Seguir Autovalores e Autovetores Prof Carlos Alexandre Barros de Mello cabmcinufpebr 42