Lista de Exercícios Sistemas de Controle - UFAM - Estabilidade e Representação de Sistemas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE SISTEMA DE CONTROLE 2a Lista de Exercícios 02062023 I Considere os sistemas a 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 x t x t u t y t x t b 1 3 0 0 2 2 1 1 1 2 0 0 2 2 3 1 1 1 0 2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 x t x t u t y t x t c 2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 4 1 0 1 1 4 0 1 1 0 1 1 x t x t u t y t x t d 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 5 4 1 0 1 2 1 0 0 0 1 1 x t x t u t y t x t e 5 12 8 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x t x t u t y t x t 1a Desacople os estados dos sistemas dados em I 2a Calcule a matriz de transição de estados de Ia Id e Ie 3a Represente Ie de forma que os modos complexos sejam desacoplados dos modos reais e explicite os modos complexo 4a Determine a resposta ao degrau unitário de Ie Id e Ie 5a Classifique os sistemas em I quanto a controlabilidade e observabilidade 6a Represente os sistemas controláveis na forma canônica do controlador 7a Represente os sistemas observáveis na forma canônica do observador 8a Represente os sistemas nãocontroláveis eou não observáveis na forma de Kalman 9a Determine as funções de transferência dos sistemas 10a Considere o sistema modelado por 6 1 0 0 0 0 1 12 0 1 0 1 0 1 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 4 4 0 2 1 0 0 0 1 x t x t u t y t x t a Faça o desacoplamento de estados b Represente na forma de Kalman SISTEMAS DE CONTROLE 3a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof Valdir Sampaio 03062023 1a Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis e para os instáveis determine o número de raízes em C a 𝑠4 5𝑠3 8𝑠2 10𝑠 16 b 𝑠6 3𝑠5 5𝑠4 10𝑠3 8𝑠2 15𝑠 20 c 𝑠5 3𝑠4 3𝑠3 8𝑠2 9𝑠 1 d 𝑠3 4𝑠2 2𝑠 8 e 𝑠5 5𝑠4 2𝑠3 3𝑠2 8𝑠 8 2a Determine os valores de K para que os sistemas sejam estáveis a b YS RS K 5 𝑠ሺ𝑠 4ሻሺ𝑠 8ሻ 2 s 𝑠 1 𝑠ሺ𝑠 1ሻሺ𝑠 5ሻ2 K Ys Rs 3a Para o sistema a Determine a função de transferência do sistema b Realize por modelo de estados considerando x1t e x2t como estados c Faça um estudo sobre estabilidade e observabilidade do sistema O Sistema é detectável 4a Trace o root locus para os sistemas definidos nos itens abaixo a 𝐺ሺ𝑠ሻ 𝑠 4 𝑠ሺ𝑠2 4𝑠 4ሻሺ𝑠 6ሻ b 𝐺ሺ𝑠ሻ 𝑠 05 𝑠2ሺ𝑠 4ሻሺ𝑠 8ሻ c 𝐺ሺ𝑠ሻ 𝑠2 8𝑠 20 ሺ𝑠 2ሻሺ𝑠2 2𝑠 2ሻ d 𝐺ሺ𝑠ሻ 𝑠 1 4 ሺ𝑠 3ሻ2ሺ𝑠 10ሻ 5a Na questão 4 determine a Limites de estabilidade para todos os itens b K para que 0707 para os itens b e d c K para amortecimento crítico X2s X1s Us Ys Ys Rs K Gs 6a No sistema abaixo determine a A constante de erro ao degrau b A constante de erro à rampa c O erro de regime permanente para a entrada rtt1t d O s valores de K1 e K2 para se obter 05 e Para os valores K1 e K2 obtidos em d determine overshoot tr td tpts 7a Para 𝐺ሺ𝑠ሻ 5 𝑠 1 2 𝑠2ሺ𝑠 𝑝ሻ com realimentação unitária veja figura da questão 4 determine a O valor de p de modo que o root locus tenha um dois ou três pontos de ramificação b Os valores de p e K de modo que o sistema em malha fechada tenha um pólo triplo c O valor de K para se obter 0707 com pólo dominante 8a Para que valores de K os polinômios são estáveis a 𝑠4 2𝑠3 2𝑠2 ሺ𝐾 1ሻ𝑠 2 b 𝑠4 3𝑠3 3𝑠2 ሺ𝐾 4ሻ𝑠 𝐾 3 c 𝑠3 3𝑠2 ሺ5 𝐾ሻ𝑠 8 𝐾 RS K1 50 1 04𝑠 K2 YS 9a Nos sistemas abaixo 𝐺ሺ𝑠ሻ 15000 𝑠ሺ𝑠 5ሻሺ1 001𝑠ሻ 𝐻1ሺ𝑠ሻ 1 1 01𝑠 Fig 01 Fig 02 a Determine H2s para que os dois diagramas de blocos sejam equivalentes b Determine as constantes de erro de posição e velocidade da Fig 02 Qual o significado de Kv ser negativo c Determine yt para ut degrau unitário 10 a Um sistema de controle com retroação unitária tem a seguinte função de transferência d cs b s s s a K s G s 2 Os valores nominais são K 20 a 3 b 6 c 4 e d 8 a Determine a sensibilidade em relação K b Determine a sensibilidade em relação a c Determine a sensibilidade em relação b YS RS Gs H1s RS Gs H2s YS 1 Segunda Lista Q1 letra a Os autovalores de A são λ1 λ2 λ3 λ4 1 O único autovetor associado é v1 0 0 0 2 Resta então desacoplar por Jordan segue J 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 letra b Os autovalores de A são λ1 λ2 2 λ3 1 λ4 1 mas λ1 λ2 2 tem 2 autovalores associados Então a matriz diagonalizada será da forma D 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 letra c Os autovalores de A são λ1 2 2662 j0562 λ3 0657 λ4 1 todos distintos Então a matriz diagonalizada é da forma D 1 0 0 0 0 0657 0 0 0 0 2662 j0562 0 0 0 0 2662 j0562 letra d Os autovalores de A são λ₁₂ 2419 j0606 λ₃ 0161 λ₄ 0 todos distintos Então a matriz de estados com os estados desacoplados é D 0 0 0 0 0 0161 0 0 0 0 2412 j0606 0 0 0 0 2412 j0606 letra e Os autovalores de A são λ₁₂ 2 j2 λ₃ 1 todos distintos Então a matriz de estados com os estados desacoplados é D 1 0 0 0 2 j2 0 0 2 j2 Q2 letra a Visto que apenas o autovetor v₁ 0 0 0 2 é associado a λ₁ λ₄ 1 a matriz de transição é obtida resolvendo v₁ A Iv₂ v₂ A Iv₃ v₃ A Iv₄ e obtemos a matriz de transição resolvido pelo comando jordan P 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 letra d Obtendo os autovetores associados a A comando eigA e dispondo eles em coluna obtemos P 1143 1191 0596 j0254 0596 j0254 0143 0 0 0 0571 0580 1710 j0303 1710 j0303 1 1 1 1 letra e Obtendo os autovetores associados a A comando eigA e dispondo eles em coluna obtemos P 1 j8 j8 1 2 2j 2 2j 1 1 1 Q3 Transformando os valores complexos no seu bloco correspondente temos D 1 0 0 0 2 2 0 2 2 Q5 letra a A matriz de controlabilidade C e observabilidade O são respectivamente C B AB A²B A³B 0 0 1 3 0 1 3 6 1 3 6 10 2 3 6 13 O C CA CA² CA³ 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 cujos determinantes são det C 2 e det O 3 Então o sistema é controlável e observável letra b A matriz de controlabilidade C e observabilidade O são respectivamente C B AB A²B A³B 1 2 4 8 0 0 0 0 1 2 4 8 0 0 0 0 O C CA CA² CA³ 1 2 0 1 05 4 25 1 15 8 25 025 05 16 75 15 cujos determinantes são det C 0 e det O 0 Então o sistema não é controlável e nem observável letra c A matriz de controlabilidade C e observabilidade O são respectivamente C B AB A²B A³B 0 0 2 9 1 1 0 3 0 1 3 7 1 1 5 14 O C CA CA² CA³ 1 0 1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 5 4 3 2 cujos determinantes são det C 3 e det O 1 Então o sistema é controlável e observável letra d A matriz de controlabilidade C e observabilidade O são respectivamente C B AB A²B A³B 1 1 3 9 0 0 0 0 1 4 11 28 0 2 6 16 O C CA CA² CA³ 0 0 1 1 1 1 3 3 4 2 9 10 13 6 25 30 cujos determinantes são det C 0 e det O 3 Então o sistema é observável e não controlável letra e A matriz de controlabilidade C e observabilidade O são respectivamente C B AB A²B 1 5 13 0 1 5 0 0 1 O C CA CA² 0 1 0 1 0 0 5 12 8 cujos determinantes são det C 1 e det O 8 Então o sistema é observável e controlável Q6 letra a O polinômio característico de A obtido resolvendo detλI A é pλ λ⁴ 4λ³ 6λ² 4λ 1 A matriz de transição é P CTα 0 0 1 3 0 1 3 6 1 3 6 10 2 3 6 13 4 6 4 1 6 4 1 0 4 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 6 5 2 O sistema na forma canônica controlável é Ac P1 A P 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 4 6 4 Bc P1 B 0 0 0 1 Cc CP 0 6 6 2 e o sistema se torna ẋt Aczt Bczt yt Cczt letra b O sistema não é controlável letra c O polinômio característico de A obtido resolvendo detλI A é pλ λ4 7λ3 17λ2 16λ 5 A matriz de transição é P CTα 0 0 2 9 1 1 0 3 0 1 3 7 1 1 5 14 16 17 7 1 17 7 1 0 7 1 0 0 1 0 0 0 5 2 0 0 2 10 6 1 3 4 1 0 12 19 8 1 O sistema na forma canônica controlável é Ac P1 A P 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 16 17 7 Bc P1 B 0 0 0 1 Cc CP 14 17 7 1 e o sistema se torna ẋt Aczt Bczt yt Cczt letra d O sistema não é controlável letra e O polinômio característico de A obtido resolvendo detλI A é pλ λ3 5λ2 12λ 8 A matriz de transição é P CTα 1 5 13 0 1 5 0 0 1 12 5 1 5 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 O sistema na forma canônica controlável é Ac P1 A P 0 1 0 0 0 1 8 12 5 Bc P1 B 0 0 1 Cc CP 0 1 0 e o sistema se torna ẋt Aczt Bczt yt Cczt Q7 letra a A matriz de transição é P Tα O 4 6 4 1 6 4 1 0 4 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 7 5 2 1 9 1 0 3 5 3 0 3 1 1 0 1 O sistema na forma canônica controlável é Ao P A P1 0 0 0 1 1 0 0 4 0 1 0 6 0 0 0 4 Bo P1 B 0 6 6 2 Co CP 0 0 0 1 e o sistema se torna ẋt Ao zt Bo zt yt Co zt letra b O sistema não é observável letra c Obtendo diretamente da forma canônica controlável temos Ao AcT 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1 5 16 17 7 Bo CcT 14 17 7 1 Co BcT 0 0 0 1 e o sistema se torna ẋt Ao zt Bo zt yt Co zt letra d A matriz de transição é P TαO 1 7 5 1 7 6 1 0 6 1 0 0 1 0 0 00 0 1 1 1 1 3 3 4 2 9 10 13 6 25 30 0 5 4 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 4 2 0 O sistema na forma canônica controlável é Ao PAP1 0 0 0 9 1 0 0 1 0 1 0 7 0 0 0 5 Bo P1B 0 2 3 1 Co CP 0 0 0 1 e o sistema se torna ẋt Aozt Bozt yt Cozt letra e Obtendo diretamente da forma canônica controlável Ao AcT 0 0 8 1 0 12 0 1 5 Bo CcT 0 1 0 Co BcT 0 0 1 e o sistema se torna ẋt Aozt Bozt yt Cozt Q9 letra a A função transferência é calculada por Gs CsI A1B 2s3 6s2 6s s4 4s3 6s2 4s 1 letra b A função transferência é calculada por Gs CsI A1B s2 s 2 s3 3s2 4 letra c A função transferência é calculada por Gs CsI A1B s3 7s2 17s 14 s4 7s3 17s2 16s 5 letra d A função transferência é calculada por Gs CsI A1B s2 3s 2 s3 5s2 7s 1 letra e A função transferência é calculada por Gs CsI A1B s s3 5s2 12s 8 Q10 Os autovalores de A são λ1 2 3126 j0921 λ3 4 1434 j1169 λ5 0880 λ6 2 Então a matriz de estados desacoplados é A 3126 j0921 3126 j0921 1434 j1169 1434 j1169 088 2 Terceira Lista Q1 letra a A tabela de Routh é s4 1 8 6 s3 5 10 s2 6 16 s1 10 3 s0 16 Como a primeira coluna muda de sinal duas vezes existem dois polos no semiplano direto Logo o sistema é instável letra b A tabela de Routh é s6 1 5 8 20 s5 3 10 15 s4 53 3 20 s3 235 21 s2 24423 20 s1 181061 s0 20 Como a primeira coluna muda de sinal duas vezes existem dois polos no semiplano direto Logo o sistema é instável letra c A tabela de Routh é s5 1 3 9 s4 3 8 1 s3 13 263 s2 70 1 s1 60770 s0 1 Como a primeira coluna muda de sinal duas vezes existem dois polos no semiplano direto Logo o sistema é instável letra d A tabela de Routh é s3 1 2 s2 4 8 s1 8 s0 8 Como existe uma coluna só com zeros existe um par de polos sobre o eixo jω E como a primeira coluna não troca de sinais o sistema é marginalmente estável letra e A tabela de Routh é s5 1 2 8 s4 5 3 8 s3 75 325 s2 1397 8 s1 968139 s0 8 Como a primeira coluna muda de sinal duas vezes existem dois polos no semiplano direto Logo o sistema é instável Q2 letra a A malha interna é 5ss4s810ss4s8 1 5ss2 12s 42 A malha fechada é YsRs 5Kss2 12s 421 5Kss2 12s 42 5Ks3 12s2 42s 5K A tabela de Routh do denominador é s3 1 42 s2 12 5K s1 42 5K12 s0 5K Para o sistema ser estável segue que 5K12 42 K 1008 letra b A malha fechada é YsRs Ks1ss1s52 1 Ks1ss1s52 Ks1s4 9s3 15s2K 25s K A tabela de Routh do denominador é s4 1 15 K s3 9 K 25 s2 160 K9 K s1 k2 104K 4000K 160 s0 K Da terceira linha segue K 160 As raízes da quarta linha são K12 52 j36 Logo o sistema é estável se K 160 Q3 letra a Observe que X1s 1s1 Us X2s 2s1 X1s 2s1s1 Us Ys X1s X2s 1s1 2s1s1 Us 1s1 Us letra b Lembrando que Ys 1s1 2s1s1 Us s1s1s1 Us s1s21 Assim a realização em espaço de estados é ẋ1 ẋ2 0 1 1 0x1 x2 0 1 ut yt 1 1x1 x2 letra c A matriz de controlabilidade e observabilidade são C B AB 0 1 1 0 O C CA 1 1 1 1 o sistema é controlável e não é observável porque det C 1 det O 0 O sistema não é detectável porque não é observável Q4 Os Lugares Geométricos das Raízes LGRs dos sistemas são Figura 1 LGR das funções transferências Q5 letra a Aplicando o critério de Routh no denominador da malha fechada temos s⁴ 1 28 4K s³ 10 K 24 s² 256 K10 4K S¹ K² 168K 6144K 256 s⁰ 4K s² é nula se K 256 Para 0 K 256 segue que a linha s¹ leva a K² 168K 6144 0 válida para 0 K 84 2033 3089 letra b Aplicando o critério de Routh no denominador da malha fechada temos s4 1 32 05K s3 12 K S2 2880 75K90 05K S1 K75K 234075K 2880 s0 05K s2 é nula se K 384 Para 0 K 384 segue que a linha s1 leva a 75K 2340 0 válida para 0 K 312 letra c Do LGR vemos que o sistema é sempre estável se K 0 letra d Aplicando o critério de Routh no denominador da malha fechada temos s3 1 K 51 S2 4 025K 90 S1 09375K 735 s0 025K 90 De s1 temos K 784 Q6 O ramo direto é Gs K1 s008s 02 10K2 A malha fechada é descrita por Ys Rs K1 008s2 02 10K2s K1 letra a Para uma entrada degrau temos Kp lim s0 Gs e 1 1 Kp 0 letra b Para uma entrada rampa temos Kv lim s0 sGs K1 10K2 02 e 10K2 02 K1 0 letra c A transformada de Laplace de Ltδt1 dds eˢ 1 eˢ Então pelo Teorema do Valor Final lim s0 K1 s 008 s² 02 10K2 K1 eˢ 0 letra d Dividindo a função transferência por 008 segue YsRs 125K1 s² 25 125K2s 125K1 Observe que 25 125K2 2ζωn ωn 125K1 ωn² ou seja 125K1 25 125K2 Se K1 100125 segue 10 25 125K2 K2 006 letra e Observe que ωn 125K1 10 ωd ωn 1 ζ² 53 Logo OS 100 expπζ 1 ζ² 163 tr π cos¹ ζ ωd 0242 tp π ωd 0363 ts 4 ζ ωn 08 Q7 letra a Se p 0 o mapa de polos e zeros é σ jω Se s p segue 2 s s 05 s p 0 e não há LGR Se 0 s p segue 2 s s 05 0 e s p 180 há LGR neste percurso Se 05 s 0 segue s 05 0 e s p 180 e 2 s 360 há LGR neste percurso Perceba então que o percurso é um polo na origem se encontra com o polo em p e tornamse um par de polos complexos O outro polo na origem se direciona para o zero Se p 0 temos Gs 5s 05 s3 e o mapa de polos e zeros é σ jω Se s 0 segue 3 s s 05 0 e não há LGR Se 05 s 0 segue s 05 0 e 3 s 540 há LGR neste percurso Perceba então que dois polos se tornamse um par de polos complexos O outro polo na origem se direciona para o zero Se 0 p 05 o mapa de polos e zeros é σ jω Se s 0 segue 2 s s 05 s p 0 e não há LGR Se p s 0 segue s 05 0 e 2 s 360 e s p 0 não há LGR neste percurso Se 05 s p segue s 05 0 e 2 s 360 e s p 180 há LGR neste percurso Perceba então que os dois polos da origem se tornam um par de polos complexos O outro polo se direciona para o zero Se p 05 temos Gs 5s 05 s2s 05 5 s2 e o LGR é σ jω Se 05 p o mapa de polos e zeros é σ jω Se s 0 segue 2 s s 05 s p 0 e não há LGR Se 05 s 0 segue s 05 0 e 2 s 360 e s p 0 não há LGR neste percurso Se p s 05 segue s 05 180 e 2 s 360 e s p 0 há LGR neste percurso Perceba então que os dois polos da origem se tornam um par de polos complexos O outro polo se direciona para o zero letra b A malha fechada é descrita por Fs Ys Rs KGs 1 KGs 5K s 05 s3 ps2 5Ks 25K Se a malha fechada é um polo triplo então o denominador é da forma s a3 s3 3as2 3a2s a3 ou seja p 3a 5K 3a2 25K a3 Dividindo a segunda pela terceira equação 5K 25K 3a2 a3 2 3 a resolvendo para a a 15 Então p 45 e K 145 letra c Escolhendo p 10 temos que a malha fechada é Gs 5Ks 05 s3 10s2 5Ks 25K Considerando que a malha fechada desejada é da forma Gs 5Ks 05 s as2 2ζωn ω2n 5Ks 05 s3 a ζωns2 aζωn ω2ns aω2n para a 10ζωn note que podemos aproximar Gs por Gs 5Ks 05 s3 as2 aζωn ω2ns aω2n Comparando com a malha fechada já obtida p a 5K aζωn ω2 n 25K aω2 n Dividindo a linha 2 pela 3 segue 2 pζωn ω2 n pω2n ζ ωn 1 p logo ωn ζ 2 1 p ζp 2p 1 Então dado o valor de p o ganho para se obter um polo dominante com ζ 0707 é K p ζ2p2 2p 12 25 ζ2p3 252p 12 p3 102p 12 lembrando que só será válido para p 05 Q8 letra a A tabela Routh é s4 1 2 2 s3 2 k 1 s2 3 k2 2 s1 k2 2k 5k 3 s0 2 estável para linha s2 K 3 linha s2 não existe ou seja não há valores de K para que o sistema seja estável letra b A tabela Routh é s4 1 3 K 3 s3 3 k 4 s2 13 k3 K 3 s1 K2 8K 79k 13 s0 K 3 estável para linha s2 K 13 linha s2 não existe ou seja não há valores de K para que o sistema seja estável letra b A tabela Routh é s3 1 5 K s2 3 8 K s1 2K 73 K 3 s0 8 K estável para linha s0 K 72 linha s2 K 8 ou seja o sistema é estável para valores positivos de K Q9 letra a Simplificando Fig 01 temos Fs Ys Rs Gs 1 H1sGs 1500001s 1 s001s 101s 1s 5 15000 Simplificando a Fig 02 temos Fs Ys Rs G 1 GH2 1 G 1 GH2 15000 s001s 1s 5 15000H2s Escrevendo H2s NsDs segue Fs 15000Ds s001s 1s 5Ds 15000Ns Comparando com a primeira FT segue que Ns 1 Ds 01s 1 logo H2s 1 01s 1 letra b O ramo direto será F1s G 1 GH2 15000 s001s 1s 5 15000H2 As constantes de erro são Kp lim s0 F1s 1 H2s 0 Kv lim s0 sF1s 15000 5 15000 lim s0 H2 s Os erros de posição e velocidade são ess H2s 0 pos ess 5 15000 lim s0 H2 s 15000 vel Q10 letra a A sensibilidade com relação a K é Sᴷᴳ K G GK K K sa K K sa s sbs² cs d ssbs² cs d sa sa s sbs² cs d 1 letra b A sensibilidade com relação a a é Sᵃᴳ a G Ga a K sa a K sa s sbs² cs d a ssbs² cs d Ksa K ssbs² cs d a sa 3 s3 letra c A sensibilidade com relação a b é Sᵇᴳ b G Gb b Ksa b Ksa s sbs² cs d bssbs² cs d Ksa Ksa ssb²s² cs d b sb 6 s 6