Exercícios de Fixação sobre Representação de Sistemas

Aulas 03 e 04 Representação de sistemas Professora MSc Marenice Melo de Carvalho Universidade Federal do Amazonas Exercício de Fixação Tarefa Considere um sistema que toda entrada ut e saída yt estão relacionadas por yt Pαut ut para t α 0 para t α onde α é uma constante real O sistema é chamado de operador truncamento Verifique se o sistema é linear invariante no tempo eou causal Na aula de hoje Considerações iniciais Representação por EDOs Representação por função de transferência Representação por espaço de estados Representação por diagrama em blocos Considerações iniciais Dado um sistema contínuo com entrada ut e saída yt A função g é chamada de resposta ao impulso A saída pode ser calculada através da integral de convolução yt gt τuτ dτ Considerações iniciais Se o sistema é causal então a saída não atua antes da entrada ser aplicada Causal gt τ 0 for t τ Se o sistema é excitado no instante t0 e observado até o instante t então yt t t0 gt τuτ dτ Se o sistema é invariante no tempo podese considerar t0 0 yt t 0 gt τuτ dτ Uma equação diferencial ordinária EDO de ordem n com coeficientes constantes é indicada por dn ydtn a1 dn1 ydtn1 an1 dydt an y b0 dm udtm b1 dm1 udtm1 bm1 dudt bm u Considerações iniciais Sendo o sistema linear então a resposta completa do sinal de saída yt pode ser calculado por yt t 0 gtτuτ dτ Essa resposta é válida apenas para sistemas causais lineares e invariantes no tempo LIT A solução da EDO é composta por duas partes Solução homogênea yht Solução particular ypt Resposta completa yt yht ypt Considere ut 0 dn ydtn a1 dn1 ydtn1 an1 dydt an y 0 Resposta temporal yt 500 500 cos296t 084 sen296te05t m Ou ainda yt 500 507e05t cos296t 954 m Uma ferramenta poderosa para análise de sistemas é a transformada de Laplace Definição Seja y uma função definida por t 0 então a integral Ys Lyt ₀ est ytdt é chamada de transformada de Laplace de y desde que a integral converja OBS Conferir tabela de transformação Propriedade Deslocamento no tempo Lgt t₀ Gsest₀ 8 Propriedade Deslocamento na frequência Lgtes₀t Gs s₀ 9 L0t gt τuτ dτ Gs Us 15 Lgtut frac12πj Gs zUz dz 16 g0 lims sGs 17 Calcule a resposta yt ao degrau unitário ut ut para cada função de transferência indicada abaixo a Gs 18s25s6 b Gs 27s26s9 c Gs 50s26s25 Solução da letra b Ys 27s2 6s 9 As Bs 32 Cs 3 s1 0 s2 3 s3 3 A 3 B 9 C 3 Solução da letra c Ys 50s2 6s 25 As Bss 32 Cs 32 s1 0 s2 3 4j s3 3 4j A 2 B 2 C 12 Considere que o sistema tenha condições iniciais xt₀ no instante t₀ a evolução dos estados no tempo é dado por xt Φt t₀xt₀ ₜ₀ᵗ Φt τBuτ dτ 26 Logo a resposta temporal da saída é dada por yt CΦt t₀xt₀ ₜ₀ᵗ CΦt τBuτ dτ 27 Como calcular a matriz de transição de estados Φt Outra caminho é através da transformação de Laplace ℒΦt Φs sI A¹ E calculase a transformada de Laplace inversa para finalizar Podese ainda calcular a função de transferência relacionada ao espaço de estados uma vez que as condições iniciais do sistema seja nula Gs CsI A¹B D 28 Podese converter uma equação diferencial ou uma função de transferência em espaço de estados Exemplo Transforme os sistemas a seguir em uma representação por espaço de estados a fracd3ydt3 2fracd2ydt2 5fracdydt 12yt 15ut b Gs frac5s23s1 c Gs frac2s5s23s1 A representação por diagrama em blocos permite representar os efeitos dinâmicos apresentados em equações matemáticas por blocos funcionais Alguns blocos úteis 1 Integrador x1t rightarrow int x1t rightarrow X1s rightarrow fracX1ss Exemplos Descreva os sistemas abaixo por diagrama em blocos a fracd2ydt2 9yt 45ut b Gs frac18s25s6 c begincases dotx beginpmatrix 2 0 0 3 5 6 3 0 1 endpmatrix x beginpmatrix 1 2 0 endpmatrix u y beginpmatrix 0 1 2 endpmatrix x endcases Representação por diagrama em blocos Temos três relações básicas usando diagrama em blocos 1 Blocos em cascata Temos três relações básicas usando diagrama em blocos 2 Blocos em paralelo Algumas propriedades úteis U1s U2s Y1s U1s G1 Y1s U2s G1 Exemplo Encontre a função de transferência global do diagrama em blocos abaixo Us G1 G2 G3 Ys G4 Exemplo Encontre a função de transferência global do diagrama em blocos abaixo Rs G1 G2 G3 Ys H2 H1 H3