Lista de Exercicios de Matematica - Geometria e Axiomas

universidade federal do amazonas instituto de ciˆencias exatas departamento de matematica PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS 1 Dizse que trˆes ou mais pontos sao colineares quando eles todos pertencem a uma mesma reta Do contrario dizse que eles sao nao colineares Mostre que trˆes pontos nao colineares determinam trˆes retas Quantas retas sao determinadas por quatro pontos sendo que quaisquer trˆes deles sao nao colineares Para a proxima questao necessitase das seguintes duas definicoes Definicao 1 Um subconjunto do plano e convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos esta totalmente nele contido Definicao 2 Seja U um subconjunto do plano Dizemos que U e estrelado relativamente a um ponto P U quando para todo ponto A U o segmento PA esta totalmente contido em U 2 a Demonstre que a intersecao de convexos e ainda um convexo b Mostre que conjuntos convexos sao estrelados relativamente a qualquer de seus pontos Dˆe um exemplo de conjunto estrelado que nao e convexo c Se um conjunto e estrelado relativamente a todos os seus pontos mostre que ele e convexo 3 Um conjunto de n cidades e ligado por estradas de modo que existe sempre uma ligando diretamente quaisquer duas delas Tomandose as cidades como pontos e as estradas como retas verifique a validade dos axiomas de incidˆencia I1 e I2 4 a Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tais que AB CD E Mostre que a reta que contem AB nao pode conter CD b Podem existir dois segmentos distintos tendo dois pontos em comum E tendo exatamente dois pontos em comum Justifique usando os axiomas Questão 1 Quando três pontos não colineares são dados eles determinam exatamente três retas adicionais Podemos desenhar um triângulo com os três pontos dados e cada uma das três alturas do triângulo é perpendicular a uma das três retas determinadas pelos pontos Onde A B e C são os três pontos dados Desenhando um triângulo ABC com esses pontos podemos traçar as três alturas do triângulo que são as linhas AD BH e HC Cada altura é perpendicular a uma das três retas determinadas pelos pontos B C A B D Quando quatro pontos não colineares são dados quaisquer três deles formam um triângulo e determinam três retas adicionais como explicado acima No entanto cada reta é contada três vezes uma vez para cada triângulo possível que a contém Portanto o número total de retas determinadas pelos quatro pontos é igual a 3 x número de triângulos formados pelos quatro pontos 3 já que cada reta é contada três vezes e há quatro triângulos formados pelos quatro pontos Assim temos 3 x 4 3 4 B D F AC E G B Onde A B C e D são os quatro pontos dados Escolhendo três pontos quaisquer para formar um triângulo podemos desenhar três alturas e determinar três retas adicionais como mostrado anteriormente Por exemplo escolhendo os pontos A B e C podemos desenhar um triângulo ABC e determinar as retas adicionais AD BE e CF Escolhendo os pontos B C e D podemos desenhar um triângulo BCD e determinar as retas adicionais BF CE e DH Escolhendo os pontos A C e D podemos desenhar um triângulo ACD e determinar as retas adicionais AG CH e DF Por fim escolhendo os pontos A B e D podemos desenhar um triângulo ABD e determinar as retas adicionais AH BG e DE Como cada reta é contada três vezes o número total de retas é 12 3 4 Portanto quatro pontos não colineares determinam exatamente quatro retas Questão 2 a Sejam A e B dois convexos quaisquer e C a interseção dos dois Sejam P e Q dois pontos quaisquer em C Como C é a interseção dos convexos A e B então P e Q pertencem a ambos os convexos Portanto o segmento PQ está totalmente contido em cada convexo A e B e portanto está totalmente contido em sua interseção C Logo C é convexo b Seja U um conjunto convexo e P um ponto qualquer em U Seja A um ponto qualquer em U Como U é convexo o segmento PA está totalmente contido em U Portanto U é estrelado relativamente a P Um exemplo de conjunto estrelado que não é convexo é o conjunto U formado pela união de dois discos disjuntos no plano O centro de um dos discos é o ponto P O conjunto U é estrelado em relação a P mas não é convexo c Seja U um conjunto estrelado relativamente a todos os seus pontos e sejam P e Q dois pontos quaisquer em U Como U é estrelado em relação a P o segmento PQ está totalmente contido em U Portanto U é convexo pela Definição 1 Questão 3 O axioma de incidência I1 afirma que para cada par de pontos distintos há uma única reta que os contém No caso das cidades e estradas para cada par de cidades distintas há uma única estrada que as liga diretamente Portanto o axioma I1 é válido O axioma de incidência I2 afirma que para cada reta há pelo menos dois pontos distintos que estão sobre ela No caso das estradas cada uma liga diretamente duas cidades distintas Portanto para cada estrada há pelo menos dois pontos distintos as duas cidades que ela liga que estão sobre ela Logo o axioma I2 também é válido Assim podese concluir que tanto o axioma I1 quanto o axioma I2 são válidos para o conjunto de cidades e estradas descrito Questão 4 a Suponha por contradição que a reta que contém AB também contém CD Então existem pontos F e G em CD tais que F e G estão em AB Mas como AB e CD se intersectam apenas em E temos que F G E o que contradiz o fato de que AB e CD são segmentos distintos Portanto a reta que contém AB não pode conter CD Considere os segmentos AB e CD que se interceptam em E Suponha que a reta que contém AB também contém CD Então teríamos a seguinte figura Observe que a reta que contém AB também contém CD No entanto isso contradiz o fato de que AB e CD se intersectam apenas em E Portanto a reta que contém AB não pode conter CD b Pelo axioma de incidência I1 para cada par de pontos distintos há uma única reta que os contém Se dois segmentos distintos têm dois pontos em comum então eles compartilham uma reta que contém esses dois pontos Mas pelo axioma de incidência I2 essa reta deve conter pelo menos mais um ponto que não está nos dois segmentos Portanto os dois segmentos distintos não podem ter apenas dois pontos em comum Agora considere dois segmentos distintos AB e CD que têm exatamente dois pontos em comum Podemos ter a seguinte figura Observe que os segmentos AB e CD estão em retas distintas que se intersectam apenas em E Portanto é possível que dois segmentos distintos tenham exatamente dois pontos em comum Por outro lado se dois segmentos distintos têm exatamente dois pontos em comum então eles não compartilham uma reta que contém esses dois pontos Assim eles devem estar em retas distintas que se intersectam apenas nesses dois pontos Portanto é possível que dois segmentos distintos tenham exatamente dois pontos em comum Bangle Curve Plot of PRESS and CERESMa rine Particulate Ca and Ba versus CalciteCorganic Rain Ratio a E Pacific and b N Atlantic Ocean r 048 p0022 r 039 p0076 r 046 p 0028 r 051 p 0016 040 030 020 010 010 050 040 03 02 000 010 020 040 030 020 010 CalciteOrganic Rain Ratio PRESS 010 030 040 020 010 CalciteOrganic Rain Ratio CERES 0 10 000 010 020 030 040 050 CalciteOrganic Rain Ratio PRESSscale 050 030 040 020 010 000 010 CalciteOrganic Rain Ratio CERES 010 000 010 020 030 040 050 CalciteOrganic Rain Ratio