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Universidade do Espirito Santo DEST-CCE Estatistica II Prof.Dr.Ivan R. Enriquez Guzman Universidade do Espirito Santo DEST-CCE-UFES 1 de outubro de 2020 Sumário 1 Estimação Teorema Central do Limite: Seja X_1, X_2, ..., X_n uma amostra aleatória da v.a. X com E(X) = μ e Var(X) = σ^2 < ∞ então, quando n é grande (n → ∞) se cumpre: x̄ = (Σ_{i=1}^{n} X_i) / n =^D→ N(μ, σ^2/n) (1) isto é, a x̄ tem distribuição normal com média μ e variancia σ^2/n, independente de qual é a distribuição de X. Distribuções amostrais Solução: Item 1, A distribuição de X é dada por: x 1 3 5 7 P(x=x) 1/4 1/4 1/4 1/4 Tabela: Distribuição de X Item 2, considerando a tabela acima temos que Amostra pode ser:(1,3), (1,5), (1,7), (3,5) (3,7), (5,7), (1,1), (3,3), (5,5), (7,7) (3,1), (5,1), (7,1),(5,3) (7,3), (7,5). A fdp da media sería, ¯x 1 2 3 4 5 6 7 P(x=x) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/6 2/16 1/16 Tabela: Dist. da media amostral de X. Distribuição amostral do minimo 1 3 5 7 1 1 1 1 1 3 1 3 3 3 5 1 3 5 5 7 1 3 5 7 Tabela: Amostras n=2 de min X. Estatisticas e Parametros Definição Parametro; são caracteristicas da População o do moodelo geral proposto. Notação:Os Pametros geralmente são denotados por letras mayusculas ou simbolos gregos, Exemplo: Média: µ , Variância σ2 , Proporção: P. No exemplo anterior vimos como selecionamos uma amostra aleatoria simples (AAS) para estimar a media, e o valor minimo, dos parametros estimados a partir de valores da amostra. Em geral estes valores são as estimativas dos parametros. Estatistica: são funções dos valores obtidos na amostra, que estima ao valor do Parametro de interesse (chamado também estimador). O resultado de avaliar dita função na amostra chamase estimativa. Estatisticas e Parametros Exemplo.1 No exemplo anterior as caracteristicas da população de media e valor minimo da população,são µ = 4 e Min = 1. Considerando uma amostra S = 3, 7 por exemplo, a media amostral ¯x e min são os estimadores dos parametros, e as estimativas resultantes seriam ¯x = 5 e min = 3, respectivamente. Exemplo 2: Retiramos uma AAS de 5 alturas de uma população de mulheres cujas estaturas X seguem a distribuição N(167,25). Usando um paquete computacional podese obter amostras aleatoria. Por exemplo, no R, os comandos serám: rnorm(5,167,5), o qual gera 5 valores normais de media 167 e variancia 25. Amostra gerada S = (172.4886, 163.5982, 177.7033, 160.2272, 165.1799), resultando mean(s) = 167.8395 e sd(s) = 7.104876 (desvio padrão amostral). Exemplo 2: Retiramos uma AAS de 5 alturas de uma população de mulheres cujas estaturas X seguem a distribuição N(167,25). Usando um paquete computacional podese obter amostras aleatoria. Por exemplo, no R, os comandos serám: rnorm(5,167,5), o qual gera 5 valores normais de media 167 e variancia 25. Amostra gerada S = (172.4886, 163.5982, 177.7033, 160.2272, 165.1799), resultando mean(s) = 167.8395 e sd(s) = 7.104876 (desvio padrão amostral). Nas pesquizas amostrais desconhecemos o valor dos parametros. Distribuições Amostrais Exemplo 3: Geremos amostras aleatórias de 1=5, 100, 200,400, de uma variable aleatória com dist. Binomial de parametros n=10 e p=0,5. Faz: • Histograma das amostras de X. • histograma da media amostral Concluimos que a media amostral ¯X segue uma distribuição Normal com media e variancia µ, σ2 n .