Lista 2 - Inferência - Estatística 2 2022 1

LISTA II DE EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA Professor Edwards C. de Castro DEST/CCE/UFES Baseado no livro: Noções de Probabilidades e Estatística (3ª Ed) – EdUSP – Marcos M. Magalhães e Antônio Carlos P. de Lima. INTERVALOS DE CONFIANÇA Questão 1. Suponha que os comprimentos (em metros) de jacarés adultos de uma certa raça sigam o modelo Normal com média 𝜇 desconhecida e variância de 0,01 metros quadrados. Uma amostra de 10 animais foi sorteada e forneceu média de 1,69 m. Desejamos obter uma estimativa do parâmetro 𝜇 com 95% de confiança. Questão 2. A vida média de baterias automotivas de uma certa marca, em meses, está sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possível admitir que a vida dessas baterias segue a distribuição Normal com desvio-padrão de 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amostra para que a amplitude do intervalo de 90% de confiança seja de 3 meses? Questão 3. Pretende-se estimar a proporção de cura, através do uso de um novo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento numa amostra de 200 pacientes com a doença escolhidos ao acaso e observou-se que 160 deles foram curados. Qual é o intervalo de 95% da proporção na população? Questão 4. Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento em minutos pode ser considerado como tendo uma distribuição Normal com desvio-padrão de 2 minutos. Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram o seu tempo de reação anotado. Os dados apresentados foram os seguintes (em minutos): 2,9 3,4 3,5 4,1 4,6 4,7 4,5 3,8 5,3 4,9 4,8 5,7 5,8 5,0 3,4 5,9 6,3 4,6 5,5 6,2 . Obtenha um intervalo de confiança para o tempo média de reação, use  = 96%. Questão 5. Uma amostra aleatória de 25 observações da N(𝜇;16) foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. Obtenha o intervalo de confiança de 85%, 90%, 95% e 99%. Comente as diferenças encontradas. Questão 6. Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio-padrão igual a 9. Para uma confiança de 90%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferenças. Questão 7. Numa pesquisa com 50 eleitores o candidato José obteve 0,35 da preferência dos eleitores. Construa os intervalos de 94% de confiança, otimista e conservador, para a proporção de votos a serem recebidos pelo candidato mencionado, supondo que a eleição fosse nesse momento. Questão 8. A duração do tonner de uma máquina fotocopiadora pode ser modelada como uma Normal com média 15 e desvio-padrão 12 (em milhares de cópia). para uma amostra aleatória de 12 máquinas fotocopiadoras a duração do tonner será observada e pergunta- se a probabilidade de, em média, durar: Item 1. Menos de 16 mil cópias? Item b. Mais de 14 mil cópias? Item c. Entre 12 e 14 mil cópias? Questão 9. Desejamos coletar uma amostra probabilística de uma Variável Aleatória N(𝜇;30). Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade de 0,92, a média amostral não difira da verdadeira populacional por mais de 3 unidades? Questão 10. O intervalo [35,21;35,99] é o intervalo de 95% de confiança da média 𝜇 de uma distribuição Normal com desvio-padrão igual a 2. Item 1. Qual o valor da média encontrada nesta amostra? Item 2. Se utilizássemos a mesma amostra, mas com confiança de 90%, qual seria o novo intervalo de confiança? Questão 11. Num grupo de pacientes, o nível de colesterol (em mg/ml) é uma variável aleatória N(𝜇;64). Item 1. Para uma amostra de 46 indivíduos que forneceu nível médio de colesterol de 120 mg/ml, construa o intervalo de 88% de confiança. Item 2. Se você desejasse diminuir a amplitude do intervalo encontrado no Item 1, quais seriam as suas alternativas? Questão 12. A análise de ocorrência de um mineral numa região é uma variável aleatória com média 4 e variância 3/2. A unidade de medida é a porcentagem de mineral por unidade de volume. Para uma amostra de tamanho 20: Item 1. Que dizer da distribuição de 𝑋̅? Item 2. Que tamanho deveria ter a amostra para que P(3,5 < 𝑋̅ ≤ 4,5) = 0,95? Solução de alguns exercícios da lista Questão 1. Suponha que os comprimentos (em metros) de jacarés adultos de uma certa raça sigam o modelo Normal com média 𝜇 desconhecida e variância de 0,01 metros quadrados. Uma amostra de 10 animais foi sorteada e forneceu média de 1,69 m. Desejamos obter uma estimativa do parâmetro 𝜇 com 95% de confiança. Solução: X: Comprimento de jacarés adultos (em metro). X ~ N(𝜇;0,01) Uma amostra, com n = 10, forneceu 𝑋̅ = 1,69. Qual é o IC(𝜇;95%) = ? temos, nesse caso, o IC dado por: [𝑋̅ − 𝑧𝛾 2 ⁄ √𝜎2 𝑛 ⁄ ; 𝑋̅ + 𝑧𝛾 2 ⁄ √𝜎2 𝑛 ⁄ ], com 𝜎2 = 0,01 e 𝑧0,95 2 ⁄ = 1,96 pela tabela N(0;1). Logo, [1,69 − 1,96√0,01 ⁄10 ; 1,69 + 1,96√0,01 ⁄10 ] = [1,63; 1,75]. Portanto, IC(𝝁;95%) = [𝟏, 𝟔𝟑; 𝟏, 𝟕𝟓], isto é, com 95% de confiança, o comprimento médio de jacarés é de 1,63 a 1,75 metros. Questão 2. A vida média de baterias automotivas de uma certa marca, em meses, está sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possível admitir que a vida dessas baterias segue a distribuição Normal com desvio-padrão de 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amostra para que a amplitude do intervalo de 90% de confiança seja de 3 meses? Solução: X: Vida média de baterias automotivas (em meses). X ~ N(𝜇;4,52) n = ? para que a amplitude do IC(𝜇;90%) = 3? Temos que a amplitude do IC = 2𝑑 = 2𝑧𝛾 2 ⁄ √𝜎2 𝑛 ⁄ = 3, com 𝑧0,45 = 1,65 pela tabela da N(0;1). Logo, 𝑛 = [ 2𝑧𝛾 2 ⁄ .𝜎 3 ] 2 = [ 2.1,64.4,5 3 ] 2 = 24,2064 (sendo 𝑛 ∈ ℕ, n = 25) Portanto, n = 25. Questão 3. Pretende-se estimar a proporção de cura, através do uso de um novo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento numa amostra de 200 pacientes escolhidos ao acaso com a doença e observou-se que 160 deles foram curados. Qual é o intervalo de 95% da proporção na população? Solução: Numa amostra com n = 200 doentes, 160 foram curados com o novo medicamento, logo, a proporção amostral de cura observada é de 𝑝̂ = 160 200 ⁄ = 0,8. O IC(p,95%) é dado por: [𝑝̂ − 𝑧𝛼 2 ⁄ √𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑛 ; 𝑝̂ + 𝑧𝛼 2 ⁄ √𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑛 ], com 𝑧0,95 2 ⁄ = 1,96, ou por [𝑝̂ − 𝑧𝛼 2 ⁄ √ 1 4𝑛 ; 𝑝̂ + 𝑧𝛼 2 ⁄ √ 1 4𝑛]. Logo, [0,8 − 1,96√0,8.0,2 ⁄200 ; 0,8 + 1,96√0,8.0,2 ⁄200 ] = [0,745; 0,855], ou, [0,8 − 1,96√ 1 4.200 ; 0,8 + 1,96√ 1 4.200] = [0,731; 0,869]. Portanto, o IC(𝒑;95%) otimista  [𝟎, 𝟕𝟒𝟓; 𝟎, 𝟖𝟓𝟓] e o IC(𝒑;95%) conservador  [𝟎, 𝟕𝟑𝟏; 𝟎, 𝟖𝟔𝟗]. A capacidade de cura do novo medicamento não é inferior a 73,1% da população contaminada por cercaria. Questão 12. A análise de ocorrência de um mineral numa região é uma variável aleatória com média 4 e variância 3/2. A unidade de medida é a porcentagem de mineral por unidade de volume. Para uma amostra de tamanho 20: Solução: X: Percentual de minério na região (ocorrência) (em % do minério por unidade de volume). X ~ ? (só temos que E(X) = 4 e Var(X) = 3/2). Para uma amostra de n = 20, Item 1. O que dizer sobre a distribuição de 𝑋̅? Se X é Normalmente distribuída, 𝑋̅ ~ N(4;3/40), e se X não é Normal, não seria adequado aproximar 𝑋̅  N(4;3/40) utilizando-se do TCL uma vez que n = 20 é considerado pequeno (a aproximação não seria boa). Portanto, 𝑿̅ ~ N(4;3/40). Item 2. Que tamanho deveria ter a amostra para que P(3,5 < 𝑋̅ ≤ 4,5) = 0,95? Considerando X ~ N(4;3/2), então, 𝑋̅ ~ N(4;3/2n) 0,95 = P(3,5 < 𝑋̅ ≤ 4,5) = 𝑃 ((3,5 − 4) √3 2𝑛 ⁄ ⁄ < 𝑍 ≤ (4,5 − 4) √3 2𝑛 ⁄ ⁄ ) = 𝑃 (( −0,5√2 √3 ) √𝑛 < 𝑍 ≤ ( 0,5√2 √3 ) √𝑛) = 𝑃(−𝑧𝑐 < 𝑍 ≤ 𝑧𝑐) = 2. 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑧𝑐)  0,95/2 = 0,475 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑧𝑐)  usando a tabela N(0;1), 𝑧𝑐 = 1,96 = ( 0,5√2 √3 ). √𝑛  𝑛 = 1,962 (0,5√2 √3 ) 2 = ( 1,96√3 0,5√2 ) 2 = 23,0496. Como 𝑛 ∈ ℕ, n = 25. Portanto, n = 25.