Lista 1 - Inferência - Estatística 2 2022 1

LISTA I DE EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA Professor Edwards C. de Castro DEST/CCE/UFES Baseado no livro: Noções de Probabilidades e Estatística (3ª Ed) EdUSP de Marcos M. Magalhães e Antônio Carlos P. de Lima. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Questão 1. Foram sorteadas 15 famílias num bairro e verificado o número de crianças em cada família matriculada na escola. Os resultados foram: 0 1 2 0 2 0 2 3 4 1 1 2 0 0 2. Obtenha as estimativas da média de crianças matriculadas no bairro correspondente aos seguintes estimadores: 𝜇1 ̂ = (𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜+𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜) 2 ; 𝜇2 ̂ = (𝑋1+𝑋2) 2 e 𝜇3 ̂ = 𝑋̅. Qual deles é o melhor estimador pontual da média e por quê? Questão 2. Considere uma amostra aleatória de tamanho 16 de uma população N(10;16). Qual é a distribuição amostral de 𝑋̅. Questão 3. Considerando a Questão 2, qual é a probabilidade das estimativas de 𝑋̅ não excederem a média por mais de dois desvios-padrão? Questão 4. Suponha que a aceitação de um lote de 1000 peças ocorre apenas se o comprimento médio de 10 peças, retiradas ao acaso do lote, estiver entre 5 e 10 cm. Sabe-se pelas especificações do fabricante que o comprimento das peças é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 7,5 cm e variância de 20 cm2. Qual a probabilidade do lote ser aceito? Questão 5. Supõe-se que o consumo mensal de água por residência em um bairro de Vitória tem distribuição Normal de média 10 e desvio-padrão 2 (em mm3). Para uma amostra de 25 residências desse bairro, qual a probabilidade da média amostral não se afastar da verdadeira média por mais de 1 mm3? Questão 6. Um fabricante afirma que a sua vacina contra a gripe imuniza 80% dos casos. Uma amostra de 25 indivíduos foi sorteada e testes foram realizados para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade de proporção de imunizados na amostra ser inferior à 0,75? E de ser superior a 0,85? Questão 7. A resistência de vigas de madeira utilizadas na construção civil está sendo estudada. O fornecedor atesta que cada viga suporta, em média, 3 toneladas com desvio-padrão de 2 toneladas. 20 dessas vigas são sorteadas para serem utilizadas em uma obra. Considerando que são verdadeiras as informações dadas pelo fornecedor e supondo que o modelo Normal é adequado, pergunta-se: Item a. Qual a probabilidade de uma dessas vigas suportar menos de 3 toneladas? Item b. Qual a probabilidade de as 20 vigas suportarem, em média, pelo menos 2,5 toneladas? Item c. Qual a probabilidade no Item b, agora considerando 40 vigas e sem fazer a suposição de normalidade dos dados? Solução de alguns exercícios da lista Questão 1. 𝜇1 ̂ = (0+4) 2 = 2; 𝜇2 ̂ = (1+1) 2 = 1 e 𝜇3 ̂ = 21 15 = 1,4 O melhor estimador é o 𝜇3 ̂, pois, ele é um estimador pontual não viciado, consistente e eficiente (variação mínima) para média. Questão 2. 𝑋̅~𝑁 (𝜇; 𝜎2 𝑛 ⁄ ) = 𝑁(10; 1) Questão 3. 𝑃(|𝑋̅ − 𝜇| ≤ 2𝜎𝑋̅) = 𝑃(|𝑍| ≤ 2) = 2. 𝑃(0 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 2.0,4772 = 0,9544, e que o valor 0,4772 foi obtido da tabela N(0;1).