Resumo Distribuição Amostral - Estatística 2 2022 1

RESUMO DE DISTRIBUICAO AMOSTRAL Prof. Edwards C. de Castro DEST/CCE/UFES Nota 1. Uma amostra aleatoéria (probabilistica) de tamanho n da populacgao X: Xi, X2, ..., Xn, S40 Variaveis Aleatorias (VA) definidas no mesmo espaco amostral do experimento, sao coletivamente independentes e sao igualmente distribuidas (iid), Xi ~ X, para todo i= 1, 2, 4 1. Observacao: Lembrem-se que os conceitos de Populacao Estatistica (0 conjunto Universo das unidades experimentais) e a distribuigao (ou modelo) da VA de interesse X sao equivalentes, uma vez que, a distribuigao da VA X é uma aproximacao precisa da distribuigao de frequéncia populacional da variavel X de interesse (correspondendo a Distribuigao Exata). Portanto, o modelo da VA ~ Distribuigao Exata. Nota 2. A Tabela | mostra a diferen¢a na nota¢ao entre dados modelados da populacgao e dados amostrais. Tabela 1. A diferenga: Populacéo vs Amostra | Populagao X Observacao: 1. Os estimadores pontuais para cada parametro populacional sao VA e devem ser Otimos, isto é, ndo-enviesados, consistentes e varidncias minimas. 2. O estimador pontual de p, X/n, é a frequéncia relativa de SUCESSO observada na amostra com X, o numero de SUCESSO. 3. Seja 8 um estimador pontual 6timo de um parametro @ qualquer, entao, o Erro-Padrao de 8, EP(@), é 0 desvio-padrao do estimador. Nota 3. Sejam X1, Xo, ..., Xn, WA iid’s com média yz e variancia o” (nao importa qual a populacao nesse caso). Entao, temos: E(X) = E[(Xi+Xot...+X,,)/n] = [E(X1)+E(X2)+... FE(Xn)|/n = n/n = pb, € Var(X) = Var[(XitXot...+Xn)/n] = [Var(X1)+Var(X2)+...+Var(Xn)\/n? = 1.0°/n? = on. Além disso, se as VA X’s sao Normalmente distribuidas, entéo, X ~ N(u.07/n). Nota 4. O Teorema Central do Limite (TCL): Sejam Xi, X2, ..., Xn, VA iid’s com média uu e variancia o° (nao importa qual a populacdo nesse caso) e n suficientemente grande (n >> 0), entao, a variavel Z = N(0,1), em que X-— Z= ATE 2 Jo ln Uma visao do funcionamento pratico do TCL: Nos graficos abaixo sao dois exemplos de experimento (computacional) em que se simula varias amostras aleatorias de tamanho n de uma distribuigao X (qualquer) e se calcula a média amostral padronizada, Z, para cada amostra de X. No primeiro grafico, X é Exponencial; e, no segundo grafico, X ¢ Uniforme discreta no intervalo [1;6]. Observe que a medida que 0 n cresce, a distribuigéo amostral das médias padronizadas (os histogramas em azul) se ajusta (adere) cada vez mais a distribuigao da Normal Padrao (a curva em vermelho da densidade da normal padrao). Nota 5. A distribuição amostral dos estimadores pontuais considerando amostras de populações X ~ N(μ,σ2): Veja a Tabela 2. Tabela 2. A distribuicdo amostral dos estimadores para amostras da N(u,0°). Distribuigéo Amostral Média x, > _ Dini Xi _ X-u N(u,0°7/n) ou N(0,1), x= ou Z= ——= . com o n [oz respectivamente conhecido Media yu, T= SK, comS2_, = Mies %i-X)? t de Student: f)-1 com o [s3_4 / n-1 desconhecido " com Lt o n conhecido Variancia o”, y = DSi Qui-quadrado: y2_, com Ll o? desconhecido A distribuig¢ao amostral dos estimadores pontuais considerando populagdes X nao Normais (uso do TCL, somente quando n é grande o suficiente): Veja a Tabela 3. Tabela 3. A distribuigaéo amostral dos estimadores para amostras de populacoes nao-Normais. Distribuigéo Amostral Média u 7= Xp ouZ= X-U = N(0,1) o2 In S24 In Proporcdo p za— PoP ~ N(0,1) (ou 7) BU=P)/ Alguns exemplos (exercicios resolvidos). Ex. 1. Se uma amostra aleatoria (probabilistica) de uma populacao (X) Normal se extrai os valores: 1,1 0,9 0,3 -0,.2 -3,1 1,5 -2,7 0,5 -1,5 2,1, obtenha as estimativas pontuais para pu, o” e P(X > 2,5). Solucao: x=(1,1+0,9 +... +2,1)/10 = -0,11 sé=[(1,1 + 0,11) + (0,9 + 0,11)? +... + (2,1 + 0,11)°1/9 = 3,12 > so = s2 = 1,77 Considerando agora X ~ N(-0,11;3,12), temos, P(X > 2,5) = P(Z > (2,5 + 0,11)/1,77) = P(Z > 1,77) = 0,0708 (pela tabela N(0,1)). Ex. 2. Para se avaliar a taxa de desemprego em determinado Estado, seleciona-se uma amostra aleatoria de tamanho n = 1000 habitantes em idade de trabalho e contam-se os desempregados cujo total é 87. Estimar (pontualmente) a proporgao de desempregado em todo o Estado e avalie 0 erro-padrao da estimativa. Solucao: n= 1000 ex = 87 Pp = 87/1000 = 0,087 (estima-se uma taxa de desemprego de 8,7% no Estado) apray . [6(-B) _ [0,087.0,913 _ EP(p) = [> = jo.e7.00%8 = 0,0089. Algumas considera¢ées sobre as distribuigdes Normal, t de Student e a qui-quadrado Nota 1. X ~N(uo°): Espaco amostral induzido (Qx): R Pardmetros: ye 0” com fy simétrica Espaco Paramétrico (@): uw ¢ Reo « Rcoma’ >0 Eventos: Todos os intervalos da reta R Propriedades: Invariancia para transformagoes lineares: Seja Y = a+ bX com b #0, entao, Y ~ N(a+b 3b? 0”), em particular, temos: X1, X2, ..., Xn, VA iid’s N(u,o°) e sejam X = teal eZ= XT x, 2 ~ . Tez entao, X ~ N(u,0°/n) e Z ~ N(031). Além disso, a N(0;1) é tabelada para valores p = P(0 < Z <z), dados p e z. Nota 2. T~ ty: Espaco amostral induzido (Qx): R Parametros: v (graus de liberdade, gl) com f; simétrica Espaco Paramétrico (©): v e N Eventos: Todos os intervalos da reta R Propriedades: E(t) = 0, Var(t,) > 0° da N(u,07) e P(ty > te) > P(N(0:1) > te) quando v — 0 Se Z ~ N(0,1) e X ~ 72 sAo VA’s independentes, entéo, a VA T = Pi ~ty X/y Além disso, a t, ¢ tabelada para valores a = P(t, > t,,), dados v, a e ty. Nota 3. X~ x2: Espaco amostral induzido (Qx): Ry Parametros: v (graus de liberdade, gl) com fy assimétrica e fy(0) = 0 para todo v Espaco Paramétrico (©): v e N Eventos: Todos os intervalos da reta R Propriedades: E(x5) = v e Var(x5) = 2v Sejam Xi, X2, ..., Xn, WA iid’s 77, entdo, Y = 1, X; ~ x24 Além disso, a 7? é tabelada para valores a = P(y2 > x,), dados v, a € Xq. Alguns exemplos (exercicios resolvidos) Ex. 1. Seja X ~ N(5;4) e Y = (X — 2)/10. Calcule P(Y < 0,2) e diga qual é a distribuigao de Y. Solucao: E(Y) = E[(X — 2)/10] = (E(X) — 2)/10 = (5 — 2)/10 = 0,3 Var(Y) = Var[(X — 2)/10] = Var(X)/100 = 0,04 Y ~ N(0,3;0,04), pela propriedade de invariancia a transformagoes lineares da Normal. P(Y < 0,2) = P(Z < (0,2 — 0,3)/0,2) = P(Z < -0,1/0,2) = P(Z < -0,5) = 0,5 - P(O< Z < 0,5) ... consultar a tabela Z ~ N(0;1). Ex. 2. Sejam Xi e X2, VA’s independentes com X1 ~ 7% e X2 ~ 72. Qual é a distribuicdo de Y = Xi + X2 e calcule E(Y/15), Var(Y/15) e P(Y > 30). Solucao: Y ~ 77042 = X50, logo, E(Y/15) = E(Y)/15 = 30/15 = 2, Var(Y/15) = Var(Y)/225 = 2.30/225 = 60/225 = 4/15 e P(Y > 30) consultar a tabela v2 qual é o valor da area (probabilidade), a, dados os graus de liberdade (gl), v = 30, e 0 valor critico, x, = 30. Ex. 3. Sejam X ~ N(-1;16) e Y ~ yf VA’s independentes. Como podemos construir uma VA t usando X e Y? E possivel? Solucao: Sim, é possivel, pois, as variaveis X e Y sao independentes, logo, Z = (X + 1)/4 ~ N(0;1) (X+1) — 4% I _ 3H) Tn We